El uso "real" del álgebra cuántica, la geometría no conmutativa, la teoría de la representación y la geometría algebraica para la física

Question

En esta pregunta , Orbicular hizo el siguiente comentario a Feb7 y a mis propias respuestas;

Por favor, tenga en cuenta que -aunque se diga muy a menudo- la geometría no conmutativa no da una visión "real" de la física. La razón es que sólo tienen modelos de juguete, todos los cuales no son físicos (en el sentido de que predicen cosas que difieren de las mediciones del mundo real). Además, incluso los modelos de juguete suelen ser extremadamente complicados, lo que acaba con las expectativas de obtener un modelo "real" (que no sea de juguete).

En primer lugar, quiero dar las gracias a Orbicular por señalar esto, ya que es algo que "más o menos" sabía, pero que a menudo se me olvida. El propósito de este pregunta, es pedir una explicación más profunda, ya sea a Orbicular o a otra persona. En particular

¿hasta qué punto el Álgebra Cuántica, la Geometría No Conmutativa, la Teoría de la Representación y la Geometría Algebraica influyen/ayudan a los modelos "reales" y a la física actual relacionada con el mundo físico?

No quiero que esta pregunta se convierta en un debate sobre si estas matemáticas se aplicarán más tarde en alguna hermosa teoría de simetría cuántica; preferiría que se tratara de una explicación del uso real de estas cosas. Específicamente, estoy interesado en escuchar sobre el uso de los Grupos Cuánticos y sus representaciones para los Físicos junto con algunos pensamientos sobre la utilidad real de los resultados en la Geometría Algebraica NC de esos artículos que publiqué sobre aquí . Otro tema especialmente interesante que me gustaría conocer es la utilidad de la geometría algebraica conmutativa en la física.

Algunas cosas que he encontrado

Sólo dos referencias que he encontrado que al menos abordan estas cosas en cierta medida son la conferencia de Peter Woit notas sobre la Teoría de la Representación, y en el libro de Shawn Majid sobre los Grupos Cuánticos se discute alguna motivación física definitiva para estudiar los grupos cuánticos.

Gracias.

Answer 1

De los temas que has mencionado, quizás la Teoría de la Representación (de las (super)álgebras de Lie) ha sido la más útil. Me doy cuenta de que no es el objetivo de tu pregunta, pero es posible que algunas personas no sean conscientes del alcance de su omnipresencia. Hacia el final de la respuesta menciono también el uso de la teoría de la representación de álgebras de vértices en la física de la materia condensada.

La teoría de la representación del grupo de Poincaré (obra de Wigner y Bargmann) sustenta la teoría cuántica de campos relativista, que es la formulación actual de las teorías de partículas elementales como las que nuestros amigos experimentales prueban en el LHC.

El modelo de los quarks, que explica el espectro observado de bariones y mesones, es esencialmente una aplicación de la teoría de representación de SU(3). Esto le valió el Nobel a Murray Gell-Mann.

El modelo estándar de la física de partículas, por el que también se han concedido premios Nobel, también se basa en gran medida en la teoría de la representación. De hecho, existe un influyente Informe de Física por Slansky llamado Teoría de grupos para la construcción de modelos unificados que durante años fue la biblia de la teoría de la representación para los físicos de partículas.

En general, muchas de las propuestas más especulativas teorías unificadas se basan en el ajuste del espectro observado en irreposiciones unitarias de álgebras de Lie simples, como $\mathfrak{so}(10)$ o $\mathfrak{su}(5)$ . Por no hablar de las teorías supersimétricas como el modelo estándar supersimétrico mínimo.

La Geometría Algebraica juega un papel muy importante en la Teoría de Cuerdas: no sólo en los aspectos más formales de la teoría (entender las D-branas en términos de categorías derivadas, condiciones de estabilidad,...) sino también en los intentos de encontrar compactificaciones fenomenológicamente realistas. Véase, por ejemplo, este documento y otros de diversos subconjuntos de los mismos autores.

La teoría de cuerdas perturbada es esencialmente una teoría de campo (super)conforme bidimensional y tales teorías se rigen en gran medida por la teoría de representación de (super)álgebras de Lie infinitas o, más generalmente, álgebras de operadores de vértice. Puede que no lo consideres "real", pero de hecho la teoría de campos conformacionales bidimensionales describe muchos sistemas mecánicos estadísticos en estado crítico, algunos de los cuales pueden medirse en el laboratorio. De hecho, la primera (¿y única?) manifestación de la supersimetría en la Naturaleza es el Unión Josephson en la criticidad, que se describe mediante una teoría de campo superconforme. (Por cierto, el "super" de "superconductividad" y el de "supersimetría" no son el mismo).

Answer 2

La (aparente, supuesta) matemática detrás del efecto Hall cuántico fraccionario involucra a los invariantes de la TQFT que provienen de representaciones de grupos cuánticos en raíces de la unidad.

Editar: algunos enlaces para ampliar la información:

• De las redes de hilo a los no-abelones
• Una clase de fases topológicas invariantes P,T de electrones en interacción
• Computación cuántica topológica

Answer 3

Connes y Chamseddine han aplicado la NCG a la física de partículas directamente y han hecho predicciones para la masa de Higgs. (Véase, por ejemplo aquí .) Yo diría que esto cuenta como "física real". Que sus predicciones sobrevivan o no es otra cuestión.

Answer 4

El ejemplo más sencillo de aplicación de los grupos cuánticos a la física real son las cadenas de espín integrables. Por ejemplo, la cadena de espín XXX-1/2 tiene excitaciones que se transforman bajo la rep fundamental de $\mathfrak{su}(2)$ . Consideremos ahora la deformación cuántica de esta simetría $U_q(\mathfrak{su}(2))$ . Resulta que el sistema que se obtiene es la cadena de espín XXZ anisotrópica donde el parámetro de deformación $q$ está relacionado con el parámetro de anisotropía de la cadena de espín.

Se pueden pensar muchos más ejemplos para diferentes álgebras. Pero estoy de acuerdo, esta es una rara ocasión en la que las matemáticas modernas entran en la vida de la física.

Answer 5

Los números de Chern, los números de Spin Chern y demás en la física de la materia condensada son muy importantes para entender los aislantes topológicos. Hay muchas maneras de calcular estos invariantes, y algunas de ellas provienen directamente de la geometría no conmutativa.

Véase "Disordered topological insulators: a non-commutative geometry perspective" de Emil Prodan, en Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 44(2011), 113001.