Teorías de cohomología irreductibles

Question

Dadas dos teorías de cohomología $h^{\bullet}$ y $k^{\bullet}$ definimos su suma directa $(h \oplus k)^{\bullet}$ como la teoría de cohomología $(h \oplus k)^{n}(X) := h^{n}(X) \oplus k^{n}(X)$ . Si no me equivoco, se trata de otra teoría de cohomología, cuyo espectro es el producto cuña de los espectros correspondientes. Por ejemplo, la cohomología singular con coeficientes en $\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ es la suma directa de dos copias de la que tiene coeficientes en $\mathbb{Z}$ .

Llamemos a una teoría $h^{\bullet}$ irreducible si no es descomponible como una suma directa no trivial. ¿Es cierto que, si $h^{\bullet}$ es irreducible, entonces los grupos de cohomología del punto también son irreducibles? En otras palabras, ¿es cierto que $h^{n}(pt) = \mathbb{Z}, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ o $0$ ¿pero nunca una suma directa no trivial de ellas?

Si la respuesta es no, ¿es cierto para las teorías multiplicativas?

Añadido más tarde: La respuesta es no, como ha demostrado Eric Wofsey. Así que modifico la pregunta: ¿es cierto que la parte libre de $h^{n}(pt)$ es $\mathbb{Z}$ o $0$ , pero nunca $\mathbb{Z}^{n}$ avec $n > 1$ ?

Answer 1

El espectro de la esfera, que representa la cohomotopía estable, es irreducible (se puede ver esto, por ejemplo, por el hecho de que su homología es irreducible y cualquier sumando sería conectivo y, por tanto, tendría que tener una homología no trivial). Pero la cohomología asociada a un punto son los grupos estables de homotopía de esferas, que ciertamente no son irreducibles en general.

Answer 2

Una teoría de cohomología generalizada es indecomponible si su espectro clasificador lo es. Esto se deduce de la representabilidad de Brown. Baues y Drozd tienen un artículo en Topology sobre tipos de homotopía estables de dimensión finita con homología libre fg. En diensiones 4, se tienen 3 espectros indecomponibles con homología de rango 1 en las dimensiones 0 y 4, homología de rango 2 en la dimensión 2, y 0 en el resto, véase la definición 1.7. La larga secuencia exacta de Whitehead para el homomorfismo de Hurewicz tiene el siguiente aspecto hacia el final:

$$\pi_2\rightarrow H_2=\mathbb Z^2 \rightarrow \Gamma_1=H_0\otimes \mathbb Z/2=\mathbb Z/2$$

Esto implica que la segunda homología generalizada del punto wrt este espectro, que es $\pi_2$ contiene un subgrupo isomorfo a $\mathbb Z^2$ .