¿El marco de coordenadas polares es no inercial?

Question

Consideremos la aceleración expresada en coordenadas polares.

$ \left( \ddot r - r\dot\varphi^2 \right) \hat{\mathbf r} + \left( r\ddot\varphi + 2\dot r \dot\varphi \right) \hat{\boldsymbol{\varphi}} \ $

No entiendo cuál es la explicación correcta de la presencia de estos términos. Tengo la idea de que las coordenadas polares son sólo un caso particular de un marco de rotación no inercial. Lo "especial" del mismo es que el punto está constantemente en el $x$ eje (que es el vector unitario orientado al eje $\hat{\mathbf r}$ ), que gira constantemente. ¿Es esta la forma correcta de verlo?

He encontrado en Wikpedia esta respuesta a mi pregunta.

El término $r\dot\varphi^2$ se denomina a veces término centrífugo, y el término $2\dot r \dot\varphi$ como el término de Coriolis. Aunque estas ecuaciones tienen cierto parecido en su forma con los efectos centrífugos y de Coriolis que se encuentran en los marcos de referencia en rotación, sin embargo no son las mismas cosas . En particular, la tasa angular que aparece en las expresiones de coordenadas polares es la de la partícula observada, $\dot{\varphi}$ , mientras que en la mecánica newtoniana clásica es la tasa angular $$ de un marco de referencia en rotación. Las fuerzas físicas centrífugas y de Coriolis sólo aparecen en marcos de referencia no inerciales. En cambio, estos términos, que aparecen cuando la aceleración se expresa en coordenadas polares, son una consecuencia matemática de la diferenciación Estos términos aparecen siempre que se utilizan coordenadas polares. En particular, estos términos aparecen incluso cuando se utilizan coordenadas polares en marcos de referencia inerciales donde las fuerzas físicas centrífugas y de Coriolis nunca aparecen.

He destacado las cosas que más me confunden. En particular, aquí se afirma que estos términos no deben interpretarse como causados por fuerzas ficticias, sino que simplemente provienen de la diferenciación. Eso es cierto, pero ¿no es lo mismo para el marco (real ?) no inercial? Para derivar la expresión de la aceleración en marcos no inerciales se hace una diferenciación (que tiene en cuenta la variación de los vectores unitarios).

Además dice que las coordenadas polares "se utilizan en el marco de referencia inercial", lo que obviamente va en contra de mi idea de las coordenadas polares como he dicho.

¿He entendido mal la Wikipedia o me equivoco al considerar las coordenadas polares como un marco de referencia no inercial?

Answer 1

La ecuación que has escrito no supone que el sistema de coordenadas polares esté girando. La derivación de la ecuación que has escrito comienza con la expresión de un vector de posición trazado desde el origen a la partícula en movimiento de la siguiente forma: $$\vec{r}=r\hat{r}\tag{1}$$ donde el vector unitario radial $\hat{r}$ es una función de $\theta$ y donde r y $\theta$ son funciones del tiempo t. Esta es siempre la ecuación para una posición arbitraria trazada desde el origen a un punto en el plano x-y (ya que siempre está apuntando en la dirección del vector unitario en la dirección radial).

Si tomamos la derivada de la Ecuación 1 para el vector posición con respecto al tiempo, obtenemos el vector velocidad: $$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{dr}{dt}\hat{r}+r\frac{d\hat{r}}{dt}=\frac{dr}{dt}\hat{r}+r\frac{d\hat{r}}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\frac{dr}{dt}\hat{r}+r\frac{d\theta}{dt}\hat{\theta}\tag{2}$$ Si tomamos la derivada de esta ecuación para la velocidad con respecto al tiempo, obtenemos su ecuación para la aceleración.

Answer 2

Lo primero que hay que hacer es convencerse de que para una partícula en movimiento uniforme, no se puede esperar que ni su radio ni su ángulo polar sean constantes (en general, el movimiento radial tendrá constante $\theta$ pero ese es un caso especial) o tener una primera derivada constante.

Siga estos pasos:

• Dibuja un $x$ - $y$ origen en un papel. Esto es sólo un lugar para medir $r$ de y una orientación a utilizar para medir $\theta$ (en sentido contrario a las agujas del reloj desde el $+x$ como siempre).

• Dibuja una línea arbitraria que no pase por ese origen, y márcala a intervalos constantes. Las marcas representan la ubicación de un objeto en movimiento uniforme a intervalos regulares, ¿verdad?

• Para cada marca sucesiva en la línea (indexada $i$ ) utiliza un transportador y una regla para encontrar $r_i$ y $\theta_i$ . Son las coordenadas polares del objeto en cada tictac sucesivo de algún reloj.

• Parcela $r_i$ -versus- $i$ y $\theta_i$ -versus- $i$ y ver que no son líneas rectas aunque el movimiento sea recto y uniforme. Esto debería ser suficiente para convencerte de que, a diferencia de las coordenadas cartesianas, las coordenadas polares no representan un movimiento uniforme con ecuaciones de movimiento de derivación constante.

Con un poco más de trabajo puedes hacer alguna aproximación por diferencia a partir de tu tabla de posiciones y calcular la aceleración aproximada del objeto usando la primera expresión de tu post. Debería llegar a cerca de cero (exactamente cero en el límite infinitesimal).

No estoy seguro de si necesito darte instrucciones para que veas que el marco no inercial introduce sus propios términos. Me parece que ya lo entiendes.

Answer 3

Véase el debate en ¿Por qué aparece la fuerza de Coriolis al derivar las fuerzas sobre una partícula en coordenadas polares? . El punto principal es que en un marco inercial los vectores unitarios de coordenadas polares cambian de dirección.