Ayuda, atascado con una prueba de inducción, spivak 1.6.a

Question

Existe este ejercicio de cálculo de Spivak:

1.6-a si $0\leq x < y$ entonces $x^n < y^n$ para $n = 1,2,3...$

dice que se puede utilizar una prueba por inducción, así que hice lo siguiente:

$x^1 < y^1 \iff x<y$ por la definición es verdadera, por lo que esta es la hipótesis: $$ x^k < y^k\\x^{k+1}<y^{k+1}\\x^1\cdot x^k<y^1\cdot y^k$$

pero entonces no sé cómo proceder en esto, ¿qué se puede hacer para completar la prueba?

Answer 1

Sugerencia :

Uno aprende en la escuela media que, dada una desigualdad $A<B$ se puede multiplicar por otro número $C$ utilizando la regla $$A<B \implies\begin{cases}AC <BC&\text{ if }C>0,\\[1ex]AC>BC&\text{ if }C<0.\end{cases}$$ Sólo hay que aplicar esta regla a la hipótesis inductiva dos veces.

Answer 2

Si $x^k < y^k$ es cierto, entonces multiplicando ambos lados por $x$ lleva a $x^{k+1} < x \cdot y^k$ . A continuación, aplique $x < y$ a la $x$ en el lado derecho.

Answer 3

Verá que los problemas de Spivak suelen utilizar resultados de problemas anteriores.

En este caso, el problema anterior es relevante. El problema 1-5(viii) (3ª edición) dice:

Demuestra lo siguiente:

Si $0 \leq a < b$ y $0 \leq c < d$ entonces $ac < bd$ .

Esto es lo que necesitas aquí.