Es bastante conocido que el límite de Chernoff se aplica a las variables aleatorias binarias correlacionadas negativamente (véase, por ejemplo, el teorema 1.16 aquí ). ¿Existe una referencia para el límite de tipo Chebyshev para variables binarias correlacionadas negativamente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
¿Por qué necesitas una referencia, en lugar de derivarla o afirmarla como un hecho? Si las r.v. $(X_k)_{1\leq k \leq n}$ están correlacionados negativamente (y tienen una varianza finita) Entonces, usted tiene $$ \operatorname{Var}\sum_{k=1}^n X_k \leq \sum_{k=1}^n \operatorname{Var} X_k $$ (ya que todas las covarianzas son no positivas: ampliar la varianza en el LHS); y por lo tanto se puede utilizar la desigualdad de Chebyshev directamente: $$ \forall a>0,\qquad \mathbb{P}\left\{\left\lvert\sum_{k=1}^n X_k - \sum_{k=1}^n \mathbb{E}X_k\right\rvert > a\right\}\leq \frac{\operatorname{Var}\sum_{k=1}^n X_k}{a^2} \leq \frac{\sum_{k=1}^n \operatorname{Var}X_k}{a^2} \tag{$ \N - Puñal $} $$
