¿Cuántos elementos en $\hom_{\mathbb F_2}(\mathbb F_2^2,\mathbb F_2^2)?$

Question

Mi programa de estudios dice que $\hom_{\mathbb F_2}(\mathbb F_2^2,\mathbb F_2^2)$ contiene 16 elementos. Supongo que esto se debe a que $\mathbb F_2^{2\times 2}$ contiene 16 elementos, pero no veo por qué esto debería ser la razón.

Resulta que también tenemos tres bases para $\mathbb F_2^2$ Así que, ¿no debería haber $< 16$ ¿mapas lineales? Algún mapa lineal podría ser representado por varias representaciones matriciales, es decir, algunas de las matrices en $\mathbb F_2^{2\times 2}$ son similares.

Answer 1

Consideremos $\mathrm{Hom}_F(V,W)$ donde $F$ es un campo, y $V$ y $W$ son espacios vectoriales sobre $K$ con dimensiones $m$ y $n$ . Entonces $\mathrm{Hom}_F(V,W)$ es un espacio vectorial de dimensión $mn$ ; corresponde a corresponde a la $m\times n$ matrices sobre $K$ .

En este ejemplo $K=\Bbb F_2$ y $m=n=2$ . Así obtenemos un espacio vectorial de dimensión $4$ en $\Bbb F_2$ . Tiene orden $|\Bbb F_2|^4=2^4=16$ .

Answer 2

El conjunto $\hom_{\mathbb{F}_2}(\mathbb{F}_2^2, \mathbb{F}_2^2)$ puede identificarse con $M_{2}(\mathbb{F}_2)$ (matrices de tamaño $2\times 2$ con entradas de $\mathbb{F}_2$ ). La asociación no es difícil ya que toda transformación lineal corresponde a una matriz después de fijar una base. Si se cree esto, entonces se puede ver que $|M_{2}(\mathbb{F}_2)|=2^4=16$ .