Conozco este resultado como Factorización de Birkhoff . Me lo asignaron como ejercicio en una clase de geometría algebraica y se me ocurrió la siguiente prueba bastante tediosa. A continuación trabajo sobre $\mathbb{C}$ pero la prueba no utiliza ningún dato sobre el campo base.
Cualquier elemento de $\mathbb{C}[t, t^{-1}]$ puede escribirse de forma única en la forma $t^k f(t)$ donde $f$ es un polinomio con término constante no nulo. Llamamos $k$ le site $t$ -Valoración de la $t^k f(t)$ .
Queremos clasificar los cosets dobles
\begin{equation} \text{GL}_n(\mathbb{C}[t]) \backslash \text{GL}_n(\mathbb{C}[t, t^{-1}]) / \text{GL}_n(\mathbb{C}[t^{-1}]). \end{equation}
Obsérvese que partiendo de una matriz en $\text{GL}_n(\mathbb{C}[t, t^{-1}])$ y realizando $\mathbb{C}[t]$ -operaciones lineales de fila resp. $\mathbb{C}[t^{-1}]$ -operaciones lineales de columna no cambia el coset al que pertenece la matriz.
Partiendo de dicha matriz, realice $\mathbb{C}[t]$ -Operaciones lineales de fila como se indica a continuación. En primer lugar, consideremos el $\mathbb{C}[t]$ -submódulo de $\mathbb{C}[t, t^{-1}]$ generado por los elementos de la primera columna. Este submódulo es $t^k$ veces un ideal de $\mathbb{C}[t]$ para algunos $k$ que es principal, por lo que es generado por un elemento. Utilizando las operaciones de fila, sustituya una de las entradas de la columna por un generador, colóquelo en la fila superior y elimine el resto de las entradas de la columna. Repite la operación para cada columna.
Tras realizar las operaciones de fila anteriores, obtenemos una matriz triangular superior en el mismo coset que la original. Cada una de sus entradas diagonales es una unidad en $\mathbb{C}[t, t^{-1}]$ por lo que debe ser una constante invertible veces $t^k$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ (y multiplicando las filas o columnas por las constantes adecuadas podemos suponer WLOG que tienen la forma $t^k$ ).
Ahora realice la siguiente secuencia de operaciones de filas y columnas en cada diagonal por encima de la diagonal principal (no pase a una nueva diagonal hasta que cada entrada de la diagonal actual sea cero). Utilizando las operaciones de fila y columna, asegúrese de que cada término de la entrada de la diagonal $p(t)$ tiene la propiedad de que si $t^{\ell}$ es la entrada de la diagonal principal a su izquierda y $t^d$ es la entrada de la diagonal principal por debajo de ella, entonces $p(t)$ no contiene términos de grado mayor o igual a $d$ o inferior o igual a $\ell$ . Abreviaremos esta situación utilizando el $2 \times 2$ matriz
\begin{equation} \left[ \begin{array}{cc} t^{\ell} & p(t) \\ 0 & t^d \end{array} \[derecho] \ ~ - fin {ecuación}
donde $p(t) = \sum_{m=\ell+1}^{d-1} p_m t^m$ . Sea $k < 0$ sea el número entero negativo tal que la mayor potencia de $t$ dividiendo $t^k p(t)$ es $t^{\ell}$ y realizar la operación de la columna
\begin{equation} \left[ \begin{array}{cc} t^{\ell} - t^k p(t) & p(t) \\ -t^{d+k} & t^d \end{array} \[derecha]. \fin{s} {equipamiento}
Ahora realice operaciones de fila para eliminar la entrada inferior izquierda. El resultado tendrá la forma
\begin{equation} \left[ \begin{array}{cc} t^{\ell'} & p'(t) \\ 0 & t^{d'} \end{array} \[derecho] \ ~ - fin {ecuación}
donde $\ell'$ es el mínimo del $t$ -Valoración de la $t^{\ell} - t^k p(t)$ (que es mayor que $\ell$ ) y $d+k$ . Pero como $p(t)$ por supuesto no contiene términos de grado mayor o igual a $m$ , $d+k$ es necesariamente también mayor que $\ell$ . Por lo tanto, nuestras operaciones de fila y columna han garantizado que $\ell' > \ell$ y $d' < d$ . Si $p'(t) = 0$ hemos terminado y podemos pasar a una nueva entrada en la misma diagonal o a una nueva diagonal. En caso contrario, repetimos. Después de un número finito de pasos, tendremos $\ell^{(N)} \ge d^{(N)}$ (donde $N$ es el número de pasos), en cuyo momento $p^{(N)}(t)$ necesariamente desaparece y podemos pasar a una nueva entrada o a una nueva diagonal.
El algoritmo anterior produce finalmente una matriz diagonal con entradas de la forma $t^k$ para algunos $k$ lo que demuestra que todo doble coset en
\begin{equation} \text{GL}_n(\mathbb{C}[t]) \backslash \text{GL}_n(\mathbb{C}[t, t^{-1}]) / \text{GL}_n(\mathbb{C}[t^{-1}]). \end{equation}
contiene una matriz de la forma deseada. Queda por demostrar que esta matriz es única hasta la permutación de sus entradas diagonales. Supongamos entonces dos matrices diagonales $D, D'$ con entradas diagonales $t^{k_i}, t^{k_i'}$ se encuentran en el mismo doble coset, por lo que existe $A \in \text{GL}_n(\mathbb{C}[t])$ y $B \in \text{GL}_n(\mathbb{C}[t^{-1}])$ tal que
\begin{equation} D' = A^{-1} DB. \end{equation}
Tomando determinantes vemos que $\sum k_i = \sum k_i'$ . Reescribe la identidad anterior como
\begin{equation} AD' = DB. \end{equation}
Dejemos que $a_{ij}, b_{ij}$ sean las entradas de $A, B$ . Entonces lo anterior da
\begin{equation} t^{k_j} a_{ij} = t^{k_i'} b_{ij} \end{equation}
o
\begin{equation} b_{ij} = t^{k_j - k_i'} a_{ij}. \end{equation}
Desde $\sum k_i = \sum k_i'$ se deduce que $\sum (k_i - k_i') = 0$ . Si $\sigma \in S_n$ es una permutación, se deduce que
\begin{equation} \sum_i (k_{\sigma(i)} - k_i') = 0 \end{equation}
por lo tanto, que o bien $k_{\sigma(i)} = k_i'$ para todos $i$ (en cuyo caso hemos terminado) o que existe un $i$ tal que $k_{\sigma(i)} - k_i' > 0$ . Pero $a_{ij} \in \mathbb{C}[t]$ y $b_{ij} \in \mathbb{C}[t^{-1}]$ por lo que esto es posible si y sólo si $a_{ij} = b_{ij} = 0$ . Desde $A, B$ no son idénticos a cero, debe existir una permutación $\sigma$ tal que $k_{\sigma(i)} = k_i'$ para todos $i$ y la conclusión es la siguiente.
