Encontrar una base de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{3})$ en $\mathbb{Q}$

Question

Encontrar una base de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{3})$ en $\mathbb{Q}$ .

La base no debería ser simplemente $\{\sqrt{2},\sqrt[3]{3}\}$ ? ya que son linealmente independientes con respecto a los racionales?

Answer 1

Su base sugerida tiene $2$ y por lo tanto no puede funcionar ya que $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt[3]{3})$ tiene una dimensión mínima de $3$ en $\mathbb{Q}$ por $\sqrt[3]{3}$ .

Una base es $\{ u^i v^j : u=\sqrt2, v=\sqrt[3]{3}, i=0,1, j=0,1,2 \}$ .

Answer 2

Obsérvese que el conjunto $B = \{1,\sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \sqrt[3]{9}, \sqrt{2}\sqrt[3]{3}, \sqrt{2}\sqrt[3]{9}\}$ es un conjunto linealmente independiente y que se puede comprobar por sí mismo. Por lo tanto, este conjunto es la base.