Compactación y ser operadores de rango finito

Question

Supongamos que $T$ es un operador autoadjunto no limitado con resolvente compacto en un espacio de Hilbert separable dado $H$ y $P$ una proyección sobre $\ker T$ . Definir $T_1$ para ser $T+P$ . ¿Es cierto que $|T_1|^{-1}$ es compacto, $P$ es un operador de rango finito y $|T_1|=|T|+P$ ?

Si las respuestas son "no", ¿qué más debemos suponer sobre $T$ para obtener respuestas positivas?

Estoy buscando alguna condición mínima de tales perturbaciones. Si sabemos que $P$ es compacto, entonces la última pregunta tiene una respuesta positiva. ¿Se deduce esta condición de la compacidad del resolvente de $T$ ?

Answer 1

Sí a todas sus preguntas.

Si $T$ es autoadjunto y tiene un resolvente compacto entonces:

1. $\sigma(T)$ es discreto con el único punto de acumulación que es $\infty$ .
2. Existe una base de Hilbert de $H$ formado por los vectores propios de $T$ .
3. Cada eigespacio de $T$ es de dimensión finita.

Como ejemplo, el punto 3. se deduce ya que si un eigespacio fuera infinitamente dimensional entonces $(z-T)^{-1}$ también tendría un eigespacio de dimensión infinita (a valor propio $\neq0$ ) contradiciendo la compacidad.

A continuación, puede escribir

$$T=\sum_{\lambda\in\sigma(T)} \lambda \,P_\lambda$$ donde $P_\lambda$ es la proyección sobre el eigespacio de $\lambda$ (que es de dimensión finita). Obsérvese que $|T|=\sum_{\lambda\in\sigma(T)}|\lambda|\,P_\lambda$ y que $T+P_0= \sum_{\lambda\in\sigma(T), \lambda\neq 0} \,\lambda\,P_\lambda+ 1\,P_0$ cuyo valor absoluto es $|T+P_0|= \sum_{\lambda\neq 0}|\lambda|\,P_\lambda + 1\,P_0 = |T|+P_0$ . Además se puede ver que $$(T+P_0)^{-1} = \sum_{\lambda\neq0} \lambda^{-1}\,P_\lambda + P_0$$ que está definida globalmente (debido a $0$ no siendo un punto de acumulación de $\sigma(T)$ ) y compacto por el $P_\lambda$ siendo todos ellos de dimensión finita y $\sigma(T)$ que no tiene puntos de acumulación más que $\infty$ .