Hallar los puntos de intersección de una circunferencia y una recta

Question

En un examen (de matemáticas en lengua árabe) nos piden que encontremos los puntos de intersección de una circunferencia y una recta. Se da su ecuación.

En la prueba resolví sistema de ecuaciones hecho de su ecuación y en el proceso explico mi línea de pensamiento usando las palabras por lo tanto, entonces, así, ... etc (en árabe) pero al describir ese proceso reconozco que la estructura de mi prueba se hace por equivalencia, eso se puede ver fácilmente por el contexto, estamos resolviendo una ecuación así que procedemos por equivalencia.

Pero mi profesor dijo que estaba todo mal y que debería haber usado el enunciado es equivalente (en árabe) en cada parte de mi prueba y me equivoqué en todos los ejercicios, y había algunos ejercicios en el examen donde en el proceso teníamos que resolver una ecuación así que también dijo que estaba mal por esa razón así que sólo saqué 4 de 20.

¿Se equivoca el profesor o lo hago yo?

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Mi ordenador se ha estropeado y no he podido editar, así que he hecho una nueva pregunta. He añadido las ecuaciones y el sistema de ecuaciones con mis soluciones

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Ejercicio 1

El círculo tiene la ecuación $x^2+y^2+(m+2)x-2my+m^2-36=0$ , encontrar el centro, el radio

Me pareció que era el centro $(-\frac{m}{2}-1,m)$ radio r= $\sqrt{\frac{m^2}{4}+m+37}$

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Ejercicio 2

El círculo tiene la ecuación $x^2+y^2+2 x - 2y - 4 = 0$ la línea tiene la ecuación $x+y-1=0$ encontrar puntos de intersección

i encontró $\left(\frac{-1+\sqrt{11}}{2},\frac{3-\sqrt{11}}{2}\right)$ y $\left(\frac{-1-\sqrt{11}}{2},\frac{3+\sqrt{11}}{2}\right)$

para el ejercicio 3 y 4 es lo mismo y comprobé mis cálculos una y otra vez con la calculadora no hay error pero sin embargo todo eso fue marcado con 0 por no decir "es equivalente", no usé el símbolo $\Rightarrow$ Todo lo que obtuve fue el 4 del ejercicio 5 que tenía el cálculo del producto punto y del área del triángulo donde se nos dan las coordenadas de dos vectores en el plano

Answer 1

Las soluciones publicadas son correctas, a continuación hay una posible derivación.

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Ejercicio 1

En este ejercicio hay que encontrar el centro y el radio de esta circunferencia que depende de $m$ .

$$x^2+y^2+(m+2)x-2my+m^2-36=0$$

Observe que $(y-m)^2=y^2+m^2-2my$ y reescribirlo como

$$x^2+(y-m)^2+(m+2)x-36=0$$

Añadir $0=1-1+m+\frac{m^2}4-m-\frac{m^2}4$

$$x^2+(y-m)^2+(m+2)x-37+1+m+\frac{m^2}4-m-\frac{m^2}4=0$$

Observe que $\left(x+\frac{m-2}2\right)^2=x^2+(m+2)x+\frac{m^2}4+m+1$ y reescribirlo como

$$\left(x+\frac{m+2}2\right)^2+(y-m)^2=37+m+\frac{m^2}4=0$$

Ahora podemos ver fácilmente que el centro es

$$\left(-\frac{m+2}2,m\right)$$

Y que el radio es

$$r=\sqrt{37+m+\frac{m^2}4}=\frac12\sqrt{m^2+4m+148}$$

Lo que equivale a su solución.

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Ejercicio 2

El círculo tiene una ecuación La línea tiene una ecuación Encuentra los puntos de intersección

Tienes que encontrar las intersecciones de lo siguiente:

$$\begin{array}{l} 0=x^2+y^2+2 x - 2y - 4\\ 0=x+y-1 \end{array}$$

Esto significa simplemente resolver un sistema de ecuaciones:

De la segunda ecuación obtenemos la solución para $x$ como

$$x=1-y$$

Ahora introduce esto en la primera ecuación:

$$0=(1-y)^2+y^2+2 (1-y) - 2y - 4$$

Eliminar los parantes

$$0=2y^2-6y - 1$$

Resolver para $y$ utilizando la fórmula cuadrática o completando el cuadrado

$$y_1=\frac12 (3+ \sqrt{11})$$ $$y_2=\frac12 (3- \sqrt{11})$$

Introdúzcalo en la fórmula de $x$ de antes: $x=1-y$

$$x_1=1-\frac12 (3+ \sqrt{11})$$ $$x_2=1-\frac12 (3- \sqrt{11})$$

Simplifique $$\begin{array}l x_1=-\frac12(1+\sqrt{11})\\ x_2=\frac12(\sqrt{11}-1) \end{array}$$

Esto da las dos soluciones:

$$\left(-\frac12(1+\sqrt{11}),\frac12 (3+ \sqrt{11})\right)$$ y $$\left(\frac12(\sqrt{11}-1),\frac12 (3- \sqrt{11})\right)$$

Lo que equivale a las soluciones publicadas.