Generación de grupos alternos

Question

¿Hay alguna forma de pensar en cómo generar grupos alternos? Digamos que quiero generar los grupos alternos $A_3,A_4,A_5$ .

Answer 1

En general se pueden generar los grupos alternos utilizando 3 ciclos.

Así que $A_3 = \langle(123)\rangle$

$A_4 = \langle(123), (234)\rangle$

$A_5 = \langle(123), (234), (345)\rangle$

Y así sucesivamente.

Answer 2

Las transposiciones generan $S_n$ Es un hecho bien conocido. También sabemos que $A_n$ es el núcleo del mapa de signos, es decir, cuando escribimos un elemento de $S_n$ como producto de transposiciones, el número de estas transposiciones que aparecen $\pmod 2$ es un invariante de un elemento de $S_n$ y aquellos cuyo número de transposiciones es par forman precisamente los elementos de $A_n$ . (El mapa de signos toma una permutación a $(-1)^{\# transpositions}$ por lo que es un homomorfismo de $S_n$ a $(\{-1,1\}, \times)$ .)

Por lo tanto, las permutaciones de la forma $(ab)(cd)$ generar $A_n$ . Probablemente no necesite todos los valores de $(a,b,c,d) \in \{1,\cdots,n\}^4$ pero el subconjunto que elijas para tomar buenos generadores depende del uso que quieras hacer de ellos. También hay que tener en cuenta que habrá muchos duplicados si se toman todos los posibles $4$ -como muestra el ejemplo de $A_3 = \langle (123) \rangle$ .

Espero que eso ayude,

Answer 3

Para un grupo electrógeno de tamaño $2$ puede utilizar $(1,2,3)$ junto con $(1,2,3,\ldots,n)$ (si $n$ es impar) o $(2,3,\ldots,n)$ (si $n$ es par).