Pregunta sobre el operador de Toeplitz

Question

Dejemos que $\chi_1$ sea el mapa sobre el círculo unitario definido por $\chi_1(e^{it})=e^{it}$ . Sea $T_{\chi_1}$ sea el correspondiente operador de Toeplitz. Consideremos el mapa $T_{\chi_1}^* T_{\chi_1}- T_{\chi_1} T_{\chi_1}^*$ donde $T_{\chi_1}^*$ es el adjunto de $T_{\chi_1}$ . El libro que estoy leyendo dice que el mapa $T_{\chi_1}^* T_{\chi_1}- T_{\chi_1} T_{\chi_1}^*$ es un rango uno no nulo. Es fácil ver que es distinto de cero, pero no puedo ver por qué es de rango uno.

Answer 1

Si mueve sus operadores a $\ell^2(\mathbb N)$ , su $T_{\chi_1}$ va a la jornada unilateral $S$ . Así que usted está viendo $S^*S-SS^*$ . Ahora, como $S$ es una isometría, $S^*S=I$ . Y $SS^*=I-E_{11}$ , donde $E_{11}$ es el operador de rango uno sobre el primer vector de la base canónica. Así que $$S^*S-SS^*=I-(I-E_{11})=E_{11},$$ rango-uno.

Si no estás contento con esto, puedes hacer el cálculo directamente. Sea $f=\sum_{n=0}^\infty c_ne^{itn}$ . Entonces es fácil ver que $T_{\chi_1}^*T_{\chi_1}f=f$ . También $$T_{\chi_1}T_{\chi_1}^*f=T_{\chi_1}P_He^{-it}f=T_{\chi_1}P_H\sum_{n=0}^\infty c_ne^{it(n-1)}=T_{\chi_1}P_H\sum_{n=-1}^\infty c_{n+1} e^{itn}=T_{\chi_1}\sum_{n=0}^\infty c_{n+1} e^{itn}=\sum_{n=0}^\infty c_{n+1} e^{it(n+1)}=\sum_{n=1}^\infty c_{n} e^{itn}.$$ Concluimos que $$(T_{\chi_1}^*T_{\chi_1}-T_{\chi_1}T_{\chi_1}^*)f=f-\sum_{n=1}^\infty c_{n} e^{itn}=c_0.$$