Una forma de abordar esta cuestión de forma cuantitativa es la que sugiere la probabilidad. Uno puede poner varias medidas en el espacio de todos los complejos simpliciales en $n$ vértices. Una medida quizás bastante natural es tomar un gráfico aleatorio y luego tomar el complejo de camarillas. Esto no nos da todos los complejos en $n$ vértices, pero todo complejo es homeomorfo al complejo de la camarilla de algún gráfico, por lo que estamos cubriendo todo hasta el homeomorfismo como $n \to \infty$ .
El punto principal de mi documento Topología de complejos de camarillas aleatorias es que casi todos los complejos simpliciales que surgen de esta manera son bastante simples topológicamente. En particular se muestra que para un típico $d$ -complejo de camarillas de una dimensión, los grupos de homología $H_k$ todo se desvanece cuando $k > \lfloor d/2 \rfloor$ y cuando $k< d/4$ y que casi toda la homología que queda se concentra en la dimensión media $k=\lfloor d/2 \rfloor$ .
Actualmente es un problema abierto decidir si la homología es evanescente (o simplemente pequeña) entre $k=d/4$ y $k=d/2$ . Si se pudiera establecer esto, entonces se estaría en camino de demostrar que casi todos los complejos de banderas son homotópicos a una cuña de esferas; de hecho, lo último que habría que hacer sería descartar la torsión en la homología media con coeficientes enteros.
No tengo una buena idea de si alguna de estas cosas es cierta, pero creo que este artículo da una buena evidencia anecdótica de que la mayoría de los complejos de banderas son algo simples topológicamente, y es un paso en la dirección de responder a la pregunta de Forman. (Esta medida particular parece especialmente natural desde el punto de vista de la combinatoria, ya que muchos complejos simpliciales surgen como complejos de orden de posets, y por tanto son automáticamente complejos de bandera).
ACTUALIZACIÓN:
(1) Hace poco mostré que para cada $k \ge 3$ existe un rango de probabilidad de borde para que el complejo de camarillas aleatorio (también llamado complejo de banderas aleatorio) sea racionalmente equivalente a una cuña de $k$ -Esferas dimensionales. En particular, toda la homología racional es de grado medio. Sólo hay un solapamiento muy pequeño donde hay homología en grado $k$ y en grado $k+1$ pero en cierto sentido, la mayoría de las veces sólo hay homología en un grado. La conjetura de que "racionalmente equivalente a la homotopía" puede ser sustituida por "equivalente a la homotopía" es equivalente a mostrar que con alta probabilidad, la homología es libre de torsión.
(2) Sobre la nota de torsión en la homología aleatoria, en un trabajo conjunto con Hoffman y Paquette Recientemente hemos demostrado que para un modelo ligeramente diferente de complejo simplicial aleatorio, para la mayor parte del rango en el que la homología racional es evanescente, la homología entera también lo es.
Hay uno o dos problemas técnicos en la aplicación del método de (2) en el entorno de (1) (a saber, la no monotonicidad de la homología), pero hasta ahora parece que hay razones para creer que el método saldrá adelante finalmente.
Juntos, estos dos resultados recientes sugieren que un complejo de banderas aleatorio (para un rango adecuado de probabilidad de borde $p$ ) es equivalente en homotopía a las cuñas de $d$ -Esferas dimensionales. Los complejos aleatorios de banderas me parecen un modelo muy natural para abordar tu pregunta de forma probabilística, ya que muchos complejos de la combinatoria son complejos de banderas, que surgen como complejos de orden de posets, etc.
