Discutamos el $\mathbb G_m$ pregunta primero. Para $p$ para dividir completamente en el campo generado por el $d$ -torsión de $\mathbb G_m$ es decir, el campo generado por el $d$ raíces de la unidad, una condición necesaria y suficiente es que $\mathbb F_p$ contiene el $d$ raíces de la unidad, es decir $p \equiv 1\mod d$ . Esto requiere $p>d$ así que supongo que la pregunta análoga sería contar los primos congruentes con $1$ mod $d$ entre $d$ y $d^2$ .
La heurística habitual sugiere que este número debería ser aproximadamente $d^2 / (2\phi(d) \log d)$ . Pero una asintótica demostrable es demasiado esperar. Ni siquiera conocemos un límite inferior que sea distinto de cero - habría que ampliar el rango a $d < p < O(d^5)$ y aplicar el fortalecimiento de Xylouris del teorema de Linnik. Incluso bajo GRH el $d^2$ caso es desconocido.
Probablemente se puedan obtener límites superiores que se acerquen razonablemente a la verdad utilizando métodos de tamizado.
Para las curvas elípticas, la situación es similar, pero más complicada. Algunas condiciones necesarias son que $p \equiv 1 \mod d$ ya que a partir de dos independientes $d$ -puntos de torsión podemos generar un $d$ raíz de la unidad por el emparejamiento de Weil, y $a_p \equiv p+1\mod d^2$ , escribiendo $E(\mathbb F_p) = p+1-a_p$ .
¿Son suficientes? La perspectiva correcta es pensar en Frobenius como un $2 \times 2$ matriz que actúa sobre los puntos de torsión, $p$ como determinante, y $a_p$ como el rastro. Conociendo el determinante $p$ es congruente con $1$ mod $d$ y el rastro $a_p$ es congruente con $1+p$ mod $d^2$ no es suficiente para garantizar que la matriz es congruente con la identidad mod $d$ como el contraejemplo $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & p \end{pmatrix} $ espectáculos.
Sin embargo, implican que la curva elíptica es congruente a una curva elíptica con plena $d$ -torsión, ya que cualquier contraejemplo debe ser más o menos congruente con ese módulo $d^2$ .
Como estas condiciones no son del todo suficientes, no conozco un criterio más sencillo que la afirmación de que la clase de conjugación de Frobenius en $GL_2(\mathbb Z/d)$ es igual a la matriz de identidad.
Esperamos que esto se mantenga para una proporción de primos igual a $1$ dividido por la imagen del grupo de Galois en $GL_2(\mathbb Z/d)$ . En el caso de una curva elíptica que no sea CM, esto suele ser casi tan grande como $|GL_2(\mathbb Z/d)|\approx d^4$ por lo que esperamos que no haya o haya muy pocos primos de este tipo $<d^4$ . Así que los límites inferiores no tienen remedio, pero quizás existan algunos límites superiores, aunque seguramente serán mucho más difíciles que el caso en el que todo lo que se tiene es una condición de congruencia.
Para una curva elíptica CM, la situación es mejor, y se puede expresar utilizando la teoría CM como una condición de congruencia sobre los primos que se encuentran sobre $p$ en el campo CM, por lo que el problema sólo será tan difícil como una variante cuadrática imaginaria del caso anterior (es decir, demasiado difícil para dar una asintótica).
