Evaluar la expresión

Question

Dejemos que $a$ y $b$ sean números reales positivos tales que $$ a^4 + 3ab + b^4 = \frac{1}{ab}$$ Evaluar $ {(\frac{a}{b})}^{\frac{1}{3}} + {(\frac{b}{a})}^{\frac{1}{3}} - {(2+\frac{a}{b})}^{\frac{1}{2}}$ . Lo he intentado de cinco maneras diferentes pero no puedo resolverlo. Supongo que la expresión no es constante...

Answer 1

Si $t = a/b$ se puede resolver la primera ecuación explícitamente para $b$ en términos de $t$ :

$$ b = {\frac { \left( {t}^{8/3}-{t}^{4/3}+1 \right) \sqrt {{t}^{4/3}+1}}{ \sqrt [6]{t} \left( {t}^{4}+1 \right) }} $$ y la expresión que se quiere evaluar es $$ t^{1/3} + t^{-1/3} - (2 + t)^{1/2} $$

Answer 2

Tomemos primero $a=b=1/\sqrt 2$ . Entonces la ecuación $F(a,b)=1$ se satisface para $$ F(a,b) = ab(a^4+3ab+b^4)\ , $$ y para esta elección especial la expresión que necesitamos evaluar, utilizando la función $$ G(a,b) = \left(\frac ab\right)^{\frac 13} + \left(\frac ba\right)^{\frac 13} - \left(2+\frac ab\right)^{\frac 12}\ , $$ es $G(1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2) = 1+1-\sqrt 3$ .

La ecuación implícita $F(a,b)=1$ tiene muchas otras soluciones con $a\ne b$ , si $F(a,b)=1$ entonces $F(b,a)=1$ También, y obtenemos valores obviamente diferentes $G(a,b)\ne G(b,a)$ .

Sin embargo, el problema sugiere que $G(a,b)$ es constante en $F(a,b)=1$ No es el caso.

Nota:

Aquí hay una parametrización que funciona para tener $F=1$ y los valores de $G$ puede obtenerse explícitamente: $$ F\left(\ \sqrt{\frac{t^5}{t^4 + 1}} \ ,\ \sqrt{\frac 1{(t^4 + 1) t}} \ \right) $$

$$ = {\left(\frac{t^{10}}{{\left(t^{4} + 1\right)}^{2}} + 3 \, \sqrt{\frac{t^{5}}{t^{4} + 1}} \sqrt{\frac{1}{{\left(t^{4} + 1\right)} t}} + \frac{1}{{\left(t^{4} + 1\right)}^{2} t^{2}}\right)} \sqrt{\frac{t^{5}}{t^{4} + 1}} \sqrt{\frac{1}{{\left(t^{4} + 1\right)} t}} $$

$$ =1\ . $$