En la QFT, ¿existe un único espacio de Hilbert o un haz de fibras de espacios de Hilbert?

Question

En QFT, entiendo que tenemos operadores de campo $\hat \phi(\underline{x},t)$ actuando en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ . Los operadores (por ejemplo, operadores de creación/aniquilación) pueden cambiar el estado en $\mathcal{H}$ así que $\hat \phi(\underline{x},t)|\psi\rangle \to|\psi'\rangle$

Lo que no entiendo es si hay una copia de $\mathcal{H}$ en cada punto del espaciotiempo - es decir, un haz de fibras para que $|\psi\rangle$ describe el estado en $(\underline x,t)$ o si hay un único $\mathcal{H}$ para todo el universo. En otras palabras, ¿es el campo una colección infinita de operadores, cada uno de los cuales actúa en su propio $\mathcal{H}$ o una sola $\mathcal{H}$ que es actuado por una colección infinita de operadores?

Si (como sospecho) es más bien lo segundo, estoy confundido sobre lo que esto significa incluso, matemáticamente. ¿Acaso $\hat \phi(\underline{x},t)|\psi\rangle$ básicamente significa $\hat \phi(\underline{x_0},t_0)\hat \phi(\underline{x_1},t_1)\hat \phi(\underline{x_2},t_2)...|\psi\rangle$ ? Y si es algo así, ¿qué significa en realidad, dado que esto no es en realidad un infinito contable, por lo que no podemos aplicar los operadores secuencialmente de esta manera? ¿O significa algo completamente diferente?

Answer 1

Sólo hay un espacio Hibert.

Me gusta pensar que una QFT es simplemente la técnica cuántica ordinaria de un sistema con muchos grados de libertad. Por ejemplo, consideremos un montón de cuentas de masa $m$ deslizándose a lo largo del $x$ eje para que el $x$ coordenada de la $i$ -la cuenta es $\eta_i$ . Cuentas adyacentes conectadas por muelles con energía $E=k(\eta_{i+1}-\eta_i-a)^2/2$ por lo que la separación de equilibrio es $a$ . Si hay $N$ masas hay $N$ grados de libertad.

Cuantificamos este sistema, como lo haríamos con cualquier sistema de $N$ partículas, fijando $\pi_i= m\dot \eta_i$ y poniendo los conmutadores a $[\eta_i, \pi_j]= i\hbar \delta_{ij}$ . El espacio de Hilbert resultante es $$ {\mathcal H}=\bigotimes_{i=1}^N L^2[{\mathbb R}_i]= L^2[\otimes_{i=1}^N {\mathbb R}_i] $$ donde $\eta_i\in {\mathbb R}_i$ es la posición del $i$ -Cuánta cuenta. Por lo tanto, las funciones de onda son $\psi(\eta_1,\ldots \eta_N)$ y el producto interior es $$ \langle\chi|\psi\rangle = \int_{{\mathbb R}^N} \chi^*(\eta_1,\ldots \eta_N)\psi(\eta_1,\ldots \eta_N) d\eta_1\cdots d\eta_N. $$

Los modos normales de la mecánica clásica etiquetados por su número de onda $k$ . Como en cualquier problema de "pequeñas vibraciones" cada modo normal puede considerarse como un oscilador armónico independiente y cuando cuantificamos el sistema estos osciladores se cuantifican. Si el oscilador con frecuencia $\omega(k)$ está en su $n$ -el estado de excitación que tiene el sistema $n$ "fonones" de momento $k$ . Los fonones son las "partículas elementales" del sistema y los campos cuánticos son los $\eta_i$ .

Si haces que las masas sean pequeñas y $a$ pequeño (y por lo tanto $N$ grande) para que la densidad de masa siga siendo la misma, se obtiene un modelo de cuerpo elástico unidimensional. Podemos reetiquetar $\eta_i\to\eta(x)$ donde $x\equiv ia$ etiqueta la posición de equilibrio de la perla y ahora tienes una QFT continua.