Conozco varias formas de resolver esta DE básica:
$\ddot{u} = -u$
Además de que la solución es obvia, se puede hacer:
$\ddot{u} = \frac{d\dot{u}}{dt} = \frac{d\dot{u}}{du}\frac{du}{dt} = \frac{d\dot{u}}{du}\dot{u} = -u$
y luego llevar el du en el denominador a la derecha e integrar ambos lados para obtener:
$\dot{u}^2 = - u^2$ o $\dot{u} = \pm i u$
Entonces, si la solución sigue sin ser obvia para nosotros, podríamos separar las variables de nuevo para obtener u(t) = e $^{\pm it}$
Ahora mi pregunta es, por qué no es posible utilizar la separación de variables de forma más directa, es decir, qué hay de malo en lo siguiente:
$\ddot{u} = \frac{d}{dt}\frac{du}{dt} = - u$
y llevar el dt a la derecha y la u a la izquierda para obtener:
$\frac{d}{dt}\frac{du}{u} = - dt$
Que se puede integrar en ambos lados. El problema es que esto no parece funcionar, se obtiene una solución errónea de la DE (u(t) = e $^{-t^2/2}$ ), incluso si se mantiene un cuidadoso seguimiento de los límites de la integración. Pero no veo ningún problema; la solución que conocemos se comporta bien, no tiene singularidades y es diferenciable. ¿Qué es lo que falla?
