El problema original se resuelve en positivo: hay un modelo de ZFC en el que existe un OD contable (bueno, incluso lightface $\Pi^1_2$ que es el mejor conjunto posible) de reales $X$ que no contiene elementos OD. El modelo (por cierto, como conjetura de Ali Enayat en http://cs.nyu.edu/pipermail/fom/2010-July/014944.html ) es un $\mathbf P^{<\omega}$ -extensión genérica de $L$ , donde $\mathbf P$ es el mínimo de Jensen $\Pi^1_2$ forzamiento real del singleton y $\mathbf P^{<\omega}$ es el producto de soporte finito de $\omega$ copias de $\mathbf P$ .
Algunos detalles. El forzamiento de Jensen se define en $L$ para que $\mathbf P =\bigcup_{\xi<\omega_1} \mathbf P_\xi$ donde cada $\mathbf P_\xi$ es un conjunto ctble de árboles perfectos en $2^{<\omega}$ , genérico sobre el resultado $\mathbf P_{<\xi}=\bigcup_{\eta<\xi}\mathbf P_\eta$ de todos los pasos anteriores de tal manera que cualquier $\mathbf P_{<\xi}$ -nombre $c$ para un real ( $c$ pertenece a un modelo transitivo contable mínimo de un fragmento de ZFC, que contiene $\mathbf P_{<\xi}$ ), que $\mathbf P_{<\xi}$ fuerzas para ser diferente del propio real genérico, es empujado por $\mathbf P_{\xi}$ (la siguiente capa) no pertenezca a ninguna $[T]$ donde $T$ es un árbol en $\mathbf P_{\xi}$ . El efecto es que el propio real genérico es el único $\mathbf P$ -genérico real en la extensión, mientras que el examen de la complejidad muestra que es un $\Pi^1_2$ singleton.
Ahora dejemos que $\mathbf P^{<\omega}$ sea el producto de soporte finito de $\omega$ copias de $\mathbf P$ . Añade una secuencia ctble de $\mathbf P$ -reales genéricos $x_n$ . Una versión del argumento anterior muestra que todavía los reales $x_n$ son los únicos $\mathbf P$ -reales genéricos en la extensión y el conjunto $\{x_n:n<\omega\}$ es $\Pi^1_2$ . Por último, la técnica rutinaria de las extensiones de productos de soporte finito garantiza que $x_n$ no son OD en la extensión.
Adenda. Para obtener pruebas detalladas de las afirmaciones anteriores, véase este manuscrito .
Jindra Zapletal me informó de que consiguió un modelo en el que un $\mathsf E_0$ -clase de equivalencia $X=[x]_{E_0}$ de un determinado real genérico de Plata es OD y no contiene elementos OD, pero en ese modelo $X$ no parece ser definible analíticamente, y mucho menos $\Pi^1_2$ . El modelo implica una combinación de varias nociones de forzamiento y algunas ideas modernas de la teoría descriptiva de conjuntos presentadas recientemente en Teoría canónica de Ramsey en espacios polacos . Por lo tanto, si un $\mathsf E_0$ -clase de un real no-OD puede ser $\Pi^1_2$ probablemente siga abierto.
Más información sobre la adición de Kanovei del 23 de agosto . Parece un clon del forzamiento de Jensen en la base de Silver (o $\mathsf E_0$ -grandes sacos) forzando en lugar de los simples sacos uno lleva a una cara ligera $\Pi^1_2$ genérico $\mathsf E_0$ -clase sin elementos OD. La ventaja del forzamiento de Silver aquí es que parece producir un forzamiento de tipo Jensen cerrado bajo el volteo 0-1 en cualquier dígito, de modo que la extensión correspondiente contiene un $\mathsf E_0$ -clase de reales genéricos en lugar de un singleton genérico. Estoy trabajando en los detalles, espero que se solucione.
Más información sobre la adición de Kanovei del 25 de agosto . Sí funciona, así que hay una extensión genérica $L[x]$ de $L$ por un real en el que el $\mathsf E_0$ -clase $[x]_{\mathsf E_0}$ es una cara ligera $\Pi^1_2$ Conjunto (contable) sin elementos OD. Lo enviaré a Axriv en unos días.
Más información sobre la adición de Kanovei del 29 de agosto . arXiv:1408.6642
