Teoría de conjuntos y teoría de modelos

Question

Esta pregunta probablemente no tenga ningún sentido, pero no veo por qué, así que la hago aquí esperando que alguien ilumine el asunto:

Existe toda esta área de estudio en la Teoría de Conjuntos sobre la consistencia, la independencia de los axiomas, etc. En algunos de ellos se utiliza la teoría de modelos (por ejemplo, el forzamiento) para demostrar resultados sobre la teoría de conjuntos.

Mi pregunta es: ¿Cuál es el fundamento de esta teoría de modelos que estamos utilizando? Ciertamente estamos utilizando conjuntos para hablar de los modelos, lo que algunos pueden llamar conjuntos en la "meta"-matemática, es decir, la matemática "real".

Pero entonces, todos estos argumentos al final en son sobre la teoría de conjuntos como teoría, y no la teoría de conjuntos como fundamento de las matemáticas, ya que estamos usando estos conjuntos mientras tanto. Así que nuestra teoría de conjuntos no es el fundamento de las matemáticas.

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Tus preocupaciones surgen de la asimetría entre cómo ves las matemáticas ordinarias y cómo ves la lógica y la teoría de modelos.

Si el negocio de la lógica y la teoría de modelos es proporcionar los fundamentos para el resto de las matemáticas, entonces, por supuesto, los lógicos y los teóricos de modelos no podrán utilizar los métodos matemáticos hasta que los hayan asegurado. Pero, ¿cómo podrían conseguirlo? Cuanto más pensamos en ello, más evidente resulta que "asegurar los fundamentos de las matemáticas", sea lo que sea, es una tarea para los filósofos en el mejor de los casos y una forma de misticismo en el peor.

Es mucho más fructífero pensar en la lógica y la teoría de modelos como una rama más de las matemáticas, concretamente la que estudia los métodos matemáticos y la actividad matemática con herramientas matemáticas. Siguen el patrón habitual de "matematizar" su objeto de interés:

• observar lo que ocurre en el mundo real (mirar lo que hacen los matemáticos)
• simplificar e idealizar la situación observada hasta hacerla manejable por las herramientas matemáticas (simplificar el lenguaje natural a la lógica formal, pretender que los matemáticos sólo formulan y demuestran teoremas y no hacen nada más, pretender que todas las pruebas se escriben siempre con todo detalle, etc.)
• aplicar las técnicas matemáticas habituales

Como todos sabemos bien, los lógicos del siglo XX tuvieron mucho éxito. Nos aportaron importantes conocimientos sobre la naturaleza de la actividad matemática y sus limitaciones. Uno de los resultados fue la constatación de que casi todas las matemáticas pueden hacerse con la lógica de primer orden y la teoría de conjuntos. El lenguaje de la teoría de conjuntos se adoptó como medio universal de comunicación entre los matemáticos.

El éxito de la teoría de conjuntos ha llevado a muchos a creer que proporciona una base inamovible para las matemáticas. No es así, al menos no del tipo místico que algunos quisieran. Proporciona un lenguaje y un marco unificador para los matemáticos, lo que en sí mismo es un pequeño milagro. Recuerde siempre que prácticamente toda la matemática clásica se inventó antes de la lógica moderna y la teoría de conjuntos. ¿Cómo pudo existir sin fundamento tanto tiempo? ¿Estaban las matemáticas de Euclides, Newton y Fourier realmente vacías hasta que llegó la teoría de conjuntos y "le dio un fundamento"?

Espero que esto explique lo que hacen los teóricos del modelo. Aplican la metodología matemática estándar para estudiar las teorías matemáticas y su significado. Han descubierto, por ejemplo, que, independientemente de cómo se axiomatice un cuerpo matemático dado en la lógica de primer orden (por ejemplo, los números naturales), la teoría resultante tendrá interpretaciones imprevistas y sorprendentes (modelos no estándar de la aritmética de Peano), y aquí estoy escatimando algunos detalles técnicos. No hay absolutamente nada extraño en aplicar la teoría de modelos a los axiomas conocidos como ZFC.

O dicho de otro modo: si usted pregunta "¿por qué se justifica que los teóricos de los modelos utilicen conjuntos?", yo le respondo "¿por qué se justifica que los teóricos de los números utilicen números?".

Answer 2

Estoy totalmente de acuerdo con las respuestas ya dadas, pero todavía quiero decir algo a tu pregunta, que enfatiza probablemente el lado formalista. Para abreviar, el fundamento de la teoría de modelos, por la que preguntabas, es la ZFC (al menos la ZFC es una posibilidad), pero esto no significa que no haya que utilizar la teoría de modelos para investigar la propia ZFC:

Como se sabe, se pueden codificar los símbolos de la lógica de primer orden dentro de la teoría de conjuntos y, en consecuencia, toda la teoría de modelos se puede realizar en ZFC. Así, el teorema de Löwenheim-Skolem, el teorema de la compacidad, etc., son teoremas de ZFC. (Obsérvese que cuando, por ejemplo, el Teorema de la compacidad habla de un "conjunto de fórmulas de primer orden", en realidad habla del conjunto de las fórmulas codificadas, es decir, de un conjunto de conjuntos).

Ahora se pueden aplicar estos resultados de la teoría de modelos a los axiomas codificados de ZFC (no hay nada de malo en ello ya que ZFC está enunciada en lógica de primer orden y el conjunto de los axiomas codificados está bien definido); aún así todo se hace en el marco ZFC.

El teorema de la lógica, que afirma que si $T$ es un "conjunto" de fórmulas, $\psi$ otra fórmula y $M$ un modelo tal que $M \models T$ y $M \models \lnot \psi$ , entonces T no puede demostrar $\psi$ es un teorema en ZFC (de nuevo $\psi$ y $T$ en este teorema son de hecho codificados, es decir, conjuntos y además la afirmación metamatemática "no existe ninguna prueba de $T$ para $\psi$ " es de hecho una declaración bien definida sobre los conjuntos que imita las características de las pruebas dentro de ZFC).

Y este Teorema se puede utilizar ahora para afirmar resultados de independencia sobre ZFC en ZFC. La única dificultad es que por el resultado celebrado por Gödels, no se puede demostrar dentro de ZFC la existencia de un modelo de ZFC. Por lo tanto uno siempre asume $Con(ZFC)$ es decir, la forma codificada de la afirmación "ZFC es consistente", que equivale a "existe un modelo de ZFC". A continuación, manipule este modelo dado para obtener un modelo para $ZFC+ \{ \varphi \}$ donde $\varphi$ es una afirmación arbitraria interesante.

Ahora podemos probar cosas como: Si ZFC es consistente entonces también lo es ZFC+ "La hipótesis del continuo falla" que es el famoso resultado de Cohen mostrado por los modelos pero dentro de ZFC.

Answer 3

El uso del forzamiento en la Teoría de Conjuntos es para investigar el Zermelo-Fraenkel axiomas y sus consecuencias. Este es un uso perfectamente válido de la Teoría de Modelos - el Teorema de Completitud dice que un enunciado φ es una consecuencia de ZFC si y sólo si φ es verdadero en cada modelo de ZFC. Si se puede producir un conjunto de forzamientos que obligue a φ a ser falsa, entonces sabemos que si ZFC es consistente, entonces φ no es una consecuencia de ZFC, ya que cualquier modelo adecuado puede extenderse a un modelo de ZFC en el que φ es falsa. Si otro forzamiento obliga a φ a ser verdadera, entonces sabemos que φ es independiente de ZFC.

De tu pregunta deduzco que eres platonista (yo soy agnóstico pero te sigo el juego). Esta demostración de independencia vía forzamiento dice poco sobre la verdad de φ en el Universo Platónico. Sólo dice que se necesita más información que los axiomas de ZFC para determinar la verdad de φ. Sin embargo, estas investigaciones durante el último medio siglo han llevado a una cierta comprensión de qué afirmaciones son realmente verdaderas en el Universo Platónico. Por ejemplo, véanse estas dos artículos de Woodin (AMS Notices, 2001) donde discute el estado de la Hipótesis del Continuo.

Answer 4

En primer lugar, me gustaría decir que su pregunta no sólo está justificada, sino que es muy bienvenida: muestra al Rey desnudo. ¿Quién es el Rey? Puede llamarlo Semántica, o la teoría matemática de la Verdad (fíjese en la mayúscula) si lo desea.

Entre los lógicos está muy extendido el uso de frases como "el verdadero universo de los conjuntos", el "conjunto de los números naturales", etc., como si estas entidades fueran cristalinas y, por tanto, indiscutibles. No lo son, al menos para mí. Pero incluso si lo son, incluso si existe tal cosa como la intuición matemática que nos informa sobre el mundo de las matemáticas platónicas (lo que mi profesor llamó acertadamente ÁTICO DE PLATO ), el hecho es el siguiente: en cuanto hablamos de ellos, se convierten en sintaxis , ni más ni menos (es decir, parte de una teoría sintáctica marco que los fundamenta).

La teoría de modelos es una gran rama de las matemáticas, no cabe duda. Pero es una matemática formalizada y fundamentada en la ZFC. ¿Significa eso que todos sus resultados están vacíos, especialmente en la teoría de modelos de ZFC? Yo digo que en absoluto. Por el contrario, pone de manifiesto la extraña capacidad de una poderosa teoría como ZFC para "reflexionar" sobre sí misma y sobre el resto de las matemáticas. El rey está desnudo, pero es un rey. ¡Larga vida al rey!

PS Acabo de descubrir el reciente trabajo de Joel D. Hamkins y algunos otros sobre el Multiverso: finalmente algunas personas de las filas de la teoría de conjuntos se están alejando de una noción dogmática y monolítica de la verdad (el fantasmal "universo verdadero de conjuntos" y sus igualmente fantasmales propiedades eternas) hacia una nueva dinámica y contextual uno. Creo que esto es el comienzo de una nueva era, si no me equivoco....

Answer 5

¿Recuerdo correctamente lo siguiente? Utilizando una codificación de la lógica formal (y de la propia ZFC) en ZFC es correcto lo siguiente: Si ZFC puede demostrar que la codificación de ZFC demuestra un teorema codificado, entonces ZFC demuestra el teorema.

En otras palabras, trabajando en el mundo de la teoría del modelo codificado por ZFC, sus teoremas siguen siendo correctos en el mundo "real", sea cual sea su inclinación filosófica por lo "real".