ACC sobre ideales, teorema de Noether, lema de Zorn

Question

Tengo un problema con este teorema de Noether del libro de Faith "Rings and Things", página 33...

Si $R$ es un anillo que satisface el ACC sobre ideales, entonces cada ideal contiene un producto de ideales primos. Un ideal $I$ de un anillo $R$ es primo si $I \neq R$ y $A,B \supset I$ entonces $AB \subset I \iff A \subset I \text{ or } B\subset I$ . La prueba es la siguiente: Sea $I$ sea un contraejemplo máximo. Entonces $I$ no es un ideal primo, por lo que $I$ está correctamente contenida en los ideales $A,B$ tal que $AB \subset I$ . Por la maximalidad de $I$ , $A$ y $B$ son producto de primos, por lo que también lo es $AB$ . Esto demuestra el teorema. Mi pregunta es si podemos encontrar I sin ACC usando el lema de Zorn.

El problema es el siguiente. ¿Por qué necesitamos en los supuestos del Teorema 2.18B la condición ACC? Si no hay contraejemplo, entonces el teorema es verdadero. Si hay un contraejemplo, entonces o bien es maximal o no. Si es máximo, entonces hemos terminado con la segunda parte de la prueba. Si no es maximal, entonces hay un superconjunto ideal J por encima de él. Si el ACC se mantiene, entonces toda construcción de este tipo se detiene y el lema de Zorn no entra en el juego en absoluto.

Sin embargo, sin ACC podemos construir una cadena bien ordenada de extensiones propias de contraejemplos $$ I_1 \subset I_2 \subset I_3 \cdots=\bigcup_i I_i=I $$ y por el lema de Zorn hay un elemento maximal, la unión, que es nuestro contraejemplo maximal, ¡y por lo tanto no necesitamos ACC aquí, en los supuestos del teorema! Nótese que no quiero evitar el lema de Zorn, sino que, por el contrario, lo utilizo en lugar de ACC. (Condición de cadena ascendente en los ideales) Gracias, JG

Answer 1

Una caracterización equivalente de la condición noetheriana (ACC sobre ideales) es que todo conjunto no vacío de ideales tiene un elemento maximal. Contrasta esto con el Lemma de Zorn, que sólo da que todo conjunto no vacío de ideales, que satisface una cierta propiedad (es decir, las cadenas tienen límites superiores), tiene un elemento maximal. Es cierto que para varias propiedades (por ejemplo, la existencia de ideales máximos), las hipótesis del lema de Zorn se cumplen, por lo que el resultado es válido para cualquier anillo. Sin embargo, no todas las propiedades deseables satisfacen las hipótesis (por ejemplo, la existencia de primos asociados), y en estos casos debemos apelar a la noeterianidad.

En el caso que mencionas, no está tan claro que la unión de la cadena ascendente siga siendo un contraejemplo (¿por qué la unión no puede contener un producto de primos?), que es presumiblemente la razón por la que los autores eligieron asumir la noeterianidad aquí.