¿Cuál es la relación entre la falta de Arquímedes lugares de infinitas extensiones de campos de número y los números primos en el anillo de los números enteros?

Question

Deje $K$ ser un campo de número y $L$ una infinita extensión algebraica de $K$. Revisión no trivial de valor absoluto $v$ $K$ (por lo $v$ es inducida por una incrustación en los números complejos o por un alojamiento ideal en el anillo de enteros de $K$). Si $K_v$ es la correspondiente a la finalización y $\overline{K}_v$ una opción algebraico de cierre de $K_v$, entonces las extensiones de $v$ a un valor absoluto en $L$ están en bijection con el $Gal(\overline{K}_v/K_v)$de las órbitas de $Hom_{K-alg}(L,\overline{K}_v)$ (esto se describe en detalle en, por ejemplo, Neukirch de la Teoría Algebraica de números).

Mi pregunta se refiere el caso al $v$ es no Arquimedianos, derivadas de un alojamiento ideal $\mathfrak{p}$ con residuos característicos $p$. En este caso, hay un bijection entre el primer ideales de $\mathscr{O}_L$ está por encima $\mathfrak{p}$ y lugares de $L$ sobre $v$? Desde $\mathscr{O}_L$ no es generalmente va a ser Dedekind (a pesar de que es un one-dimensional, integralmente cerrado de dominio), no conseguimos un (aditivo) discretas de valoración en la forma usual de un primer ideal de $\mathscr{O}_L$, pero si $w$ es un no-Arquímedes valor absoluto en $L$ extender $v$, luego por la restricción a lo finito sub-extensiones $L_i$ $L/K$ podemos obtener una especie de secuencia coherente de primer ideales $\mathfrak{p}_i$ en el entero de los anillos de los $L_i$. Tal vez hay una manera de convertir esta secuencia de números primos en un único primer ideal de $\mathscr{O}_L$ situado encima de cada una de las $\mathfrak{p}_i$? Pensé que tal vez algún tipo de compactación\inversa límite argumento de tipo podría funcionar, pero no estoy seguro...aun así, si este argumento fuera a trabajar, es probable que sólo muestran la existencia de un primo, en contraposición a determinar de forma única. Alternativamente, si miro el máximo ideal de la valoración anillo de $w$ $L$ y se cruzan con $\mathscr{O}_L$, que debería obtener un (esperemos) distinto de cero el primer ideal de $\mathscr{O}_L$ que tal vez se ajusta a la ley.

Este podría ser el enfoque equivocado por completo (y tal vez la respuesta a mi pregunta es "no"). La razón por la que estoy interesado es debido a que, por ejemplo, en Washington, el libro de cyclotomic campos, él (en un apéndice) define la descomposición de grupo de un alojamiento ideal en una infinita Galois de la extensión de los campos de número, pero no hace mención de la descomposición de grupo de un lugar de una infinita extensión algebraica de un campo de número. Cuando uno comienza a considerar los objetos como la máxima unramified abelian $p$-extensión de una $\mathbb{Z}_p$-extensión de un campo de número, seguramente este (posiblemente más general) noción se convierte en relevante.

Les agradecería mucho si alguien pudiera establecer mí directamente sobre este tema o me apunte en la dirección de referencia donde se discuten. Gracias.

Answer 1

Desde $\mathcal O_L$ es la unión de $\mathcal O_{L_i}$ donde $L_i$ ejecuta a través de todo lo finito subextensions, dando un alojamiento ideal $\mathfrak p$ $\mathcal O_L$ es lo mismo que dar una compatible colección de ideales primos $\mathfrak p_i$ en cada una de las $\mathcal O_{L_i}$. (Establecer $\mathfrak p_i := \mathfrak p \cap \mathcal O_{L_i}$, e $\mathfrak p = \cup_i \mathfrak p_i$.)

Desde $L$ es la unión de las $L_i$, dando un valor absoluto $v$ $L$ es lo mismo que dar compatible valores absolutos $v_i$ sobre los diversos $L_i$. (Tome $v_i$ a ser la restricción de a$L_i$$v$.)

La combinación de los dos anteriores comentarios, vemos que la bijection entre primos ideales y no de Arquímedes valoraciones en el caso de extensiones finitas se extiende a los correspondientes a bijection en el caso de las infinitas extensiones.