Ejemplos de separación de las matemáticas de grado de lo que los matemáticos deben saber

Question

Busco ejemplos de cuatro tipos de cosas:

1. Material que se suele tratar en los cursos de matemáticas estándar de la licenciatura y/o en los trabajos de posgrado de primer año (o que se evalúa en los exámenes de calificación), pero que la mayoría de los matemáticos no se espera que conozcan/recuerden: Algunas cosas que se me ocurren son los teoremas de Sylow y sus aplicaciones (para los matemáticos ajenos a la teoría de grupos y a la teoría geométrica de grupos) y la topología de conjuntos puntuales (excepto quizá los lógicos y algunos geómetras algebraicos). Si hay otros ejemplos de este tipo de cosas, ¿por qué se enseñan en los cursos de grado? Se me ocurren tres explicaciones: (a) es útil aprenderlo (ya sea el contenido o las técnicas) al menos una vez, aunque la gente lo olvide; (b) es tan importante para las personas que se dedican a esa área de las matemáticas que merece la pena someterlo a todos los demás; (c) inercia.
2. Material que no se enseña ni se cubre en los cursos de grado y/o en la mayoría de los trabajos de posgrado de primer año, pero con el que se supone que los matemáticos profesionales de múltiples especialidades se sienten cómodos. Algunas cosas que podrían encajar (pero no estoy seguro) son varias técnicas de combinatoria y teoría de números elemental, e ideas de la teoría de categorías. Pero no estoy muy seguro.
3. En relación con (1), las habilidades matemáticas que los estudiantes adquieren mientras estudian los cursos pero que la mayoría de ellos olvidan aunque se conviertan en matemáticos. Por ejemplo, todos los trucos y técnicas de integración, los trucos del teorema de Sylow.
4. En contraste con (3), las habilidades que las personas mejoran en general a medida que hacen más y más matemáticas. Esto probablemente incluye cosas como una mejor comprensión de los cocientes, el comportamiento asintótico, las propiedades universales, los espacios de productos, múltiples capas de abstracción (como una norma en un espacio de operadores en un espacio de funcionales lineales en un espacio de funciones en un espacio topológico, o una de esas cosas típicas en la teoría de categorías).

Todo lo anterior son suposiciones y tengo curiosidad por saber qué elementos tienen otros en mente y si la gente cree que existe alguna división o diferencia notable del tipo que he sugerido más arriba entre lo que los estudiantes de grado aprenden/se hacen buenos y lo que se espera que los matemáticos sean buenos.

Answer 1

Creo que la(s) laguna(s) señalada(s) en el post original de este hilo son inevitables, ya que hay un límite en el número de cursos que un estudiante de grado puede meter en su tiempo disponible antes de graduarse.

El material pertinente para esta discusión es el libro "All the Mathematics You Missed But Need to Know for Graduate School" de Thomas Garrity. El objetivo de este libro es ambicioso, por lo que naturalmente tiene sus deficiencias. Tiene una serie de errores, y se puede discutir la selección particular de temas de Garrity. Pero, en general, me gusta el libro, y lo recomendaría a cualquier estudiante que esté considerando una carrera profesional como matemático.

El cuerpo principal del libro es una serie de capítulos cortos, cada uno de los cuales es una breve introducción a un área particular de las matemáticas. Puede ser una lectura útil incluso para el matemático maduro que sospecha que su experiencia matemática puede ser un poco parroquial.

Pero una de las partes más útiles del libro para mí, que leí mientras trabajaba en mi maestría, y que me hubiera gustado conocer cuando era estudiante, es el material introductorio que presenta algunos de los patrones generales que son comunes a todas las ramas de las matemáticas, y que forman un esquema para cada uno de los capítulos siguientes. Por ejemplo, señala que cada rama de las matemáticas es el estudio de algún conjunto particular de objetos matemáticos. Este estudio incluye cuestiones como la forma de saber cuándo dos objetos de alguna clase son esencialmente iguales (isomorfos); cuándo uno es un subobjeto de otro; cómo pueden construirse nuevos objetos a partir de otros antiguos; una noción de mapas o morfismos entre objetos de una clase que preserven las propiedades esenciales que se supone que capturan los objetos; la noción de cocientes; etc.

Como señaló "muad" más arriba, algunos profesores planean que los alumnos aprendan estos principios más o menos por inducción, a partir de muchos ejemplos concretos que se les presentan, y nunca los mencionan explícitamente. Aunque esa puede ser una forma ideal de aprender los principios, no hay garantía de que un alumno determinado los aprenda, independientemente del número de ejemplos que se le den. Y he conocido a algunos matemáticos que, por lo que veo, no los conocen. Cuando estudiaba, tenía la sensación de que las distintas ramas de las matemáticas estaban bastante desarticuladas, sin patrones comunes reales. La culpa es de la mala enseñanza o, más probablemente, de que yo sea denso. Creo que me habría beneficiado mucho si alguien me hubiera señalado estos patrones de forma explícita.

Answer 2

Se podría argumentar que los contraejemplos (exóticos) entran en la primera categoría. Por ejemplo, cuando tomé el curso de topología de Munkres, éste estaba organizado en torno a muchos (contra)ejemplos muy cuidadosamente elegidos que mostraban cómo se relacionaban varias propiedades. Esto me llevó a profundizar en muchos espacios exóticos enumerados en la obra de Steen y Seebach Contraejemplos en topología . Aunque probablemente nunca haga uso de ninguno de esos contraejemplos exóticos, me ayudó a aprender mejor cómo emplear el método axiomático, por ejemplo, a entender cómo construir ejemplos que muestren que los axiomas son independientes, a construir ejemplos pertinentes para las cumbres teóricas, etc. No se espera necesariamente que uno recuerde los ejemplos, sino más bien la metodología (por ejemplo, varias ideas de terminación, compactación, ...)

Answer 3

Tengo una especie de 1b) para ti: Material que enseñamos a los no matemáticos, pero que sólo los matemáticos necesitan conocer.

Por ejemplo, yo enseño cálculo de primer año. En nuestro plan de estudios (y en el de muchas otras universidades que conozco), enseñamos a todos la definición de límite de la derivada con gran detalle y la definición de suma de la integral con gran detalle y esperar que los aprendan como una gran parte de su grado.

Y, sin embargo, para cualquiera que no sea matemático, conocer los detalles más concretos es inútil. ¿Deberías saber que sumas un montón de trapecios para encontrar el área bajo la curva? Claro que sí. ¿Deberías ser capaz de calcular varias de esas aproximaciones como no matemático y recordar cómo manipular las sumas formales? Claro que no.

¿Deberías ser capaz de hacer la mayoría de los derivados en tu cabeza? Sí. ¿Deberías aprender a demostrar la regla de los polinomios utilizando límites? No, a no ser que vayas a estudiar análisis real en la carrera de matemáticas.

Algunas escuelas lo llevan aún más lejos y exigen al menos unas pruebas delta-epsilon de no matemáticos para los límites. ¿Necesita un físico saber demostrar la regla de la división para los límites de D-E? Por supuesto que no. ¿Necesita estar cómodo con el concepto básico de límites? Sí.

Answer 4

Multiplicadores de Lagrange. No se cubrió adecuadamente en mi plan de estudios de matemáticas de Princeton. (Sí que tomé algunos cursos de física y economía, en los que se utilizaban como una fórmula mágica sin ninguna explicación más allá del heurístico "precio en la sombra", etc.) Sin embargo, en la escuela de posgrado (CS en CMU), se esperaba que nos sintiéramos totalmente cómodos con ellos.