Ejemplos de separación de las matemáticas de grado de lo que los matemáticos deben saber

Question

Busco ejemplos de cuatro tipos de cosas:

1. Material que se suele tratar en los cursos de matemáticas estándar de la licenciatura y/o en los trabajos de posgrado de primer año (o que se evalúa en los exámenes de calificación), pero que la mayoría de los matemáticos no se espera que conozcan/recuerden: Algunas cosas que se me ocurren son los teoremas de Sylow y sus aplicaciones (para los matemáticos ajenos a la teoría de grupos y a la teoría geométrica de grupos) y la topología de conjuntos puntuales (excepto quizá los lógicos y algunos geómetras algebraicos). Si hay otros ejemplos de este tipo de cosas, ¿por qué se enseñan en los cursos de grado? Se me ocurren tres explicaciones: (a) es útil aprenderlo (ya sea el contenido o las técnicas) al menos una vez, aunque la gente lo olvide; (b) es tan importante para las personas que se dedican a esa área de las matemáticas que merece la pena someterlo a todos los demás; (c) inercia.
2. Material que no se enseña ni se cubre en los cursos de grado y/o en la mayoría de los trabajos de posgrado de primer año, pero con el que se supone que los matemáticos profesionales de múltiples especialidades se sienten cómodos. Algunas cosas que podrían encajar (pero no estoy seguro) son varias técnicas de combinatoria y teoría de números elemental, e ideas de la teoría de categorías. Pero no estoy muy seguro.
3. En relación con (1), las habilidades matemáticas que los estudiantes adquieren mientras estudian los cursos pero que la mayoría de ellos olvidan aunque se conviertan en matemáticos. Por ejemplo, todos los trucos y técnicas de integración, los trucos del teorema de Sylow.
4. En contraste con (3), las habilidades que las personas mejoran en general a medida que hacen más y más matemáticas. Esto probablemente incluye cosas como una mejor comprensión de los cocientes, el comportamiento asintótico, las propiedades universales, los espacios de productos, múltiples capas de abstracción (como una norma en un espacio de operadores en un espacio de funcionales lineales en un espacio de funciones en un espacio topológico, o una de esas cosas típicas en la teoría de categorías).

Todo lo anterior son suposiciones y tengo curiosidad por saber qué elementos tienen otros en mente y si la gente cree que existe alguna división o diferencia notable del tipo que he sugerido más arriba entre lo que los estudiantes de grado aprenden/se hacen buenos y lo que se espera que los matemáticos sean buenos.

Answer 1

Una razón para incluir cierta materia en la educación de "todos los matemáticos"... mi ejemplo es el análisis complejo. Puede que acabes enseñando en una pequeña universidad, donde impartes todos los cursos de matemáticas de grado. Incluyendo el análisis complejo, ya que la ingeniería y la física quieren que sus estudiantes lo aprendan. Y es deseable que el instructor sepa algo más que lo que aparece en el libro de texto.

Muchas veces he escuchado quejas de este tipo... "Mi investigación se centra en la teoría de grafos, por lo que nunca necesitaré conocer el análisis complejo, ¿por qué tengo que perder el tiempo aprendiéndolo?".

Answer 2

Si desea convertirse en un matemático sólido, hay ciertos temas con los que querrá estar familiarizado, aunque no pretenda profundizar en ellos. Por ejemplo, la mayoría de los matemáticos investigadores habrán recibido una buena formación en topología de conjuntos de puntos y habrán aprendido al menos algunos de los principales teoremas y técnicas del área (lema de Urysohn, teorema de Tychonoff, teorema de metrización de Urysohn, particiones de la unidad, etc.).

En última instancia, el grado en que recuerde estos resultados y técnicas no determina su calidad como matemático investigador. Sin embargo, los conjuntos abiertos y su teoría son omnipresentes en casi todas las ramas de las matemáticas puras, y tener una idea de ciertos conceptos topológicos es ciertamente deseable. (Sin embargo, quizá no sea esencial, dependiendo de la rama de las matemáticas a la que te dediques).

Una vez más, esto no quiere decir que se pueda descartar a alguien por no saber topología de conjuntos de puntos: hay muchas maneras de hacer una investigación significativa sin tener una formación en topología de conjuntos de puntos de la magnitud de la de Munkres Topología: Un primer curso o Kelley's Topología general Por ejemplo, y hay al menos unos cuantos matemáticos profesionales que lo demuestran.

En cuanto a la teoría de Sylow, el tema, por supuesto, cae en el área de la teoría de grupos finitos. (Me apresuro a añadir, sin embargo, que la teoría de Sylow tiene aplicaciones a la teoría de grupos localmente finitos (pero posiblemente infinitos)). Aunque la teoría de grupos finitos es un tema apasionante, lleno de estructuras ricas y teoremas poderosos, sospecho que no hay demasiadas ramas de las matemáticas puras en las que los métodos de esta teoría sean fundamentales para realizar una investigación significativa. Una excepción notable (hasta cierto punto) sería la teoría algebraica de los números. Por ejemplo, el teorema del ideal principal de la teoría de campos de clases puede demostrarse utilizando las técnicas de transferencia (en la teoría de grupos). Además, sería justo añadir que la mayoría de los algebristas tienen una sólida formación en teoría de grupos finitos, aunque sus intereses de investigación se centren en otros aspectos del álgebra.

Sucintamente, creo que es justo decir que sentirse cómodo con las diversas técnicas de la teoría de grupos y la topología, tanto si se sigue alguna de estas materias como si no, puede ser útil en muchas áreas de las matemáticas. Puede que la materia en su forma exacta no se repita en otras áreas, pero las técnicas, ideas e intuiciones pueden hacerlo.

Answer 3

Creo que hay varias razones:

1. Las matemáticas requieren desarrollo. Al igual que el paso de dos naranjas + tres naranjas a una idea más abstracta de 2+3 requiere tiempo, lo mismo ocurre con la capacidad de pensar claramente en espacios abstractos, infinitos, funciones y relaciones. Requiere tiempo y experiencia.

2. Las matemáticas son como un músculo. Necesitas ejercitarte mucho para tener un cerebro grande y musculoso que pueda levantar teoremas, para luego poder y tal vez inventar algunos propios (es decir, investigar)

3. Cuando la mayoría de la gente llega a la universidad no sabe cómo son las matemáticas en realidad. Antes de mi primer año quería estudiar casi todos los cursos que se daban. Después de un tiempo me di cuenta de que el análisis no es lo mío, mientras que la teoría de conjuntos sí lo es. Y aunque el álgebra parece agradable al principio, con el tiempo se sale del alcance de mi gusto. Hoy que estoy dando mis primeros pasos en el aprendizaje por mi cuenta y comenzando mi maestría puedo decir que me voy a enfocar en la teoría de conjuntos, no lo sabía cuando comencé mi viaje en las matemáticas. ¿Cómo lo he aprendido? Probando cada tema y eligiendo mi sabor favorito.

4. El punto anterior me lleva a este: mi padre estuvo muchos años en la academia (aunque en historia) y me dijo antes de empezar la carrera que el primer grado es horizontal. Aprendes un poco de la mayoría de las cosas, en el segundo grado empiezas a centrarte en algún tema, y en el doctorado estudias la pizca de algo. Pero para eso necesitas una base amplia.

5. En una de las clases de teoría de números tuvimos a algún otro profesor que sustituyó al titular de la asignatura. Hablaba de que hay infinitos primos de alguna forma, y dijo que hay un teorema iff al respecto, pero sólo demostraremos la dirección más sencilla. En un momento de la demostración, uno de los estudiantes (la mayoría de la clase era de ciencias de la computación, no de matemáticas como yo) levantó la mano y preguntó si no podíamos usar la otra dirección del teorema. El profesor respondió que "esto es matemáticas. No se usan cosas que no se han demostrado", y en cierto modo tiene razón. Sobre todo cuando sólo estás dando tus primeros pasos. Es importante no saltarse demasiado.

6. Por último (pero no por ello menos importante), me gustaría repetir en parte algunos de los otros puntos que expuse. Cuando estaba en primer año, se me ocurrió una idea y se la mostré a mi profesor de álgebra lineal. Se quedó muy impresionado porque se me ocurrió completamente sola (eso fue $||\cdot ||_\sup$ norma sobre $\mathbb{R}^n$ y definiciones para la métrica, etc.). Me dirigió a varios temas sobre los que podría leer y aprender más: topología, análisis funcional y algunos más. Pero me repitió encarecidamente que hay que poner peldaños en el camino hacia el conocimiento, y que si los pones demasiado lejos acabarás cayendo. Y tenía razón: me caí varias veces porque hice eso.

Así que se nos enseña toda esa matemática básica porque deberíamos saber al menos algo de ella, entrometernos en ella ayuda a desarrollar un sentido de intuición sobre las matemáticas y, por supuesto, el proceso de pensamiento abstracto. Además, es bueno dejar que los niños jueguen con teoremas que fueron molidos hasta el polvo y limpiados de posibles errores, en lugar de nuevos conceptos de vanguardia que podrían tener problemas y entornos poco limpios que necesitan cuidados adicionales.

Y, por supuesto, incluso ahora, cuando termino la primera carrera, no me acuerdo de más de la mitad de las cosas para las que estudié mucho. Pero recuerdo la intuición y tengo las herramientas para redescubrir los conocimientos cuando los necesito.

Esperemos que nunca :)

Answer 4

En cuanto a "¿Por qué se enseña en los cursos de grado?"

Creo que muchas construcciones necesarias en las matemáticas avanzadas utilizan conceptos de múltiples campos diferentes. Por ejemplo, si quieres demostrar algo sobre los adeles (en la teoría algebraica de los números), necesitas tener una buena base tanto en álgebra como en topología de conjuntos de puntos.

El teorema de Sylow, por citar tu ejemplo, es interesante en sí mismo, pero creo que uno de los propósitos al enseñarlo es dar algo de carne a los estudiantes que han aprendido recientemente la definición de grupo. No cabe duda de que no es trivial, se puede apreciar y demostrar sin tener que saber matemáticas fuera de la teoría de grupos, y da a los estudiantes la oportunidad de aplicar las técnicas que han aprendido (contar órbitas y estabilizadores y demás) sin pedirles que aprendan nuevas abstracciones.

Answer 5

1)

-Los teoremas de Sylow son un gran ejemplo. Creo que se enseñan de forma tan omnipresente porque proporcionan quizás el ejemplo más elemental del amplio patrón en matemáticas de determinar la estructura de un objeto interesante (grupos finitos) según un invariante (el orden). También ilustran el poder de dejar que los grupos actúen sobre las cosas. Sin embargo, nunca he encontrado un uso real de los teoremas de Sylow en la vida real.

-Jordan / Formas canónicas racionales. Este es un tema bastante omnipresente en el álgebra lineal de licenciatura / primer año de posgrado, pero no parece surgir tan a menudo (se me ocurren algunas aplicaciones en la teoría de Lie y en las ecuaciones diferenciales). E incluso cuando se plantea, normalmente sólo se necesita que exista la descomposición diagonal + nilpotente, nunca hay que hacer cálculos.

-Integración de Riemann. Muchos estudiantes de grado toman un curso basado en, por ejemplo. "Cálculo" de Spivak y/o "Principios del análisis matemático" de Rudin, en los que se desarrollan con gran detalle las sumas de Riemann. Yo pasé por todo eso y apenas recuerdo cómo funciona, porque ahora tengo a mi buena amiga la integral de Lebesgue. Por supuesto, la integral de Lebesgue es más sofisticada y difícil de aprender, mientras que los estudiantes de grado deberían tener disponible ALGUNA teoría de integración.

-Teoría básica de los números. Recuerdo haber calculado cosas como 7^92 mod 11 y resolver x^65 = -1 mod 5, pero por mi vida no recuerdo la mitad de esas cosas. Supongo que ese tipo de cosas son una buena invitación a las matemáticas más difíciles, y probablemente son fundamentales para los actuales teóricos de los números.

-No pondría la topología de conjuntos de puntos en la lista. Como dices, muchos lógicos y geómetras algebraicos (incluso teóricos de los números) se encuentran con ciertas ideas de la topología de conjuntos de puntos, y tales nociones son también muy importantes de una manera diferente para los analistas (por ejemplo, topologías débiles, topologías de Frechet).

2)

-Álgebra homológica. Probablemente esto esté cambiando en la actualidad, pero muchos estudiantes no ven el álgebra homológica básica hasta su curso de topología algebraica de primer año.

-Teoría de la representación. Hay un montón de teoremas básicos muy bonitos que, por alguna razón, no entran en el plan de estudios de grado o incluso de posgrado. Yo me dedico al análisis y a la geometría, e incluso para mí esto supuso una gran laguna en mi formación.

-Teoría de la mentira. Yo la aprendí cuando era estudiante, pero creo que la mayoría de los estudiantes no lo hacen.

-Geometría métrica / geometría convexa. Hay muchas ideas útiles aquí para los analistas e incluso para los teóricos de los números que no se enseñan habitualmente.