Ejemplos de separación de las matemáticas de grado de lo que los matemáticos deben saber

Question

Busco ejemplos de cuatro tipos de cosas:

1. Material que se suele tratar en los cursos de matemáticas estándar de la licenciatura y/o en los trabajos de posgrado de primer año (o que se evalúa en los exámenes de calificación), pero que la mayoría de los matemáticos no se espera que conozcan/recuerden: Algunas cosas que se me ocurren son los teoremas de Sylow y sus aplicaciones (para los matemáticos ajenos a la teoría de grupos y a la teoría geométrica de grupos) y la topología de conjuntos puntuales (excepto quizá los lógicos y algunos geómetras algebraicos). Si hay otros ejemplos de este tipo de cosas, ¿por qué se enseñan en los cursos de grado? Se me ocurren tres explicaciones: (a) es útil aprenderlo (ya sea el contenido o las técnicas) al menos una vez, aunque la gente lo olvide; (b) es tan importante para las personas que se dedican a esa área de las matemáticas que merece la pena someterlo a todos los demás; (c) inercia.
2. Material que no se enseña ni se cubre en los cursos de grado y/o en la mayoría de los trabajos de posgrado de primer año, pero con el que se supone que los matemáticos profesionales de múltiples especialidades se sienten cómodos. Algunas cosas que podrían encajar (pero no estoy seguro) son varias técnicas de combinatoria y teoría de números elemental, e ideas de la teoría de categorías. Pero no estoy muy seguro.
3. En relación con (1), las habilidades matemáticas que los estudiantes adquieren mientras estudian los cursos pero que la mayoría de ellos olvidan aunque se conviertan en matemáticos. Por ejemplo, todos los trucos y técnicas de integración, los trucos del teorema de Sylow.
4. En contraste con (3), las habilidades que las personas mejoran en general a medida que hacen más y más matemáticas. Esto probablemente incluye cosas como una mejor comprensión de los cocientes, el comportamiento asintótico, las propiedades universales, los espacios de productos, múltiples capas de abstracción (como una norma en un espacio de operadores en un espacio de funcionales lineales en un espacio de funciones en un espacio topológico, o una de esas cosas típicas en la teoría de categorías).

Todo lo anterior son suposiciones y tengo curiosidad por saber qué elementos tienen otros en mente y si la gente cree que existe alguna división o diferencia notable del tipo que he sugerido más arriba entre lo que los estudiantes de grado aprenden/se hacen buenos y lo que se espera que los matemáticos sean buenos.

Answer 1

Una categoría de resultados matemáticos que pertenece a 1 es la de las afirmaciones que hay que saber que son verdaderas y que tienen pruebas complicadas. Obviamente, vale la pena conocer algunas de estas pruebas porque te ayudarán a encontrar otras pruebas similares. Pero no todas entran en esa categoría. Por ejemplo, casi todos los matemáticos pueden arreglárselas con saber que es posible construir un campo ordenado completo. Y un ejemplo quizá más importante: muchos matemáticos utilizan la medida de Lebesgue, pero todo lo que la mayoría de los matemáticos necesitan saber es un par de datos básicos sobre ella, y no los detalles completos de la construcción y la demostración de que funciona. Otro resultado del que recuerdo que mi profesor de licenciatura se disculpó más o menos explícitamente fue el teorema de aproximación simplicial, que recuerdo que me desagradaba mucho.

¿Por qué enseñamos los resultados así? Una de las razones es que cuando enseñamos no sólo estamos dotando a las personas de las herramientas que necesitan para la investigación, sino también demostrando que podemos construir el edificio de las matemáticas a partir de unos pocos axiomas básicos. Se puede discutir si realmente lo hacemos, pero creo que tendemos a hacer lo suficiente como para convencer a cualquier persona razonable de que en principio se puede hacer. Si empezáramos a dejar muchas lagunas (hay una cosa llamada medida de Lebesgue... tiene las siguientes propiedades... se puede demostrar que estas propiedades son consistentes, pero la prueba es tediosa y la omitiré), entonces este valioso aspecto de un curso de matemáticas correría el riesgo de perderse.

Answer 2

A mí me parece que el objetivo de las matemáticas de grado es proporcionar experiencia en la formación de conceptos (encontrar el significado de las definiciones abstractas), una amplia variedad de ejemplos de estructuras, relaciones y enfoques de la prueba, y en general desarrollar el pensamiento matemático. El contenido real es menos importante que la idoneidad del tema para el desarrollo elemental.

Recuerde que las matemáticas tradicionales de grado no son un título profesional en el sentido de que no están destinadas a proporcionar la información necesaria para puestos de trabajo específicos. Ni siquiera los estudios de posgrado. Lo que se espera es que los estudiantes principiantes de posgrado sean capaces de captar rápidamente las cosas básicas, no que ya las sepan. Los empleadores no académicos de personas con títulos de matemáticas tienen la misma expectativa.

Las preguntas sobre si los contenidos específicos son realmente necesarios en la corriente descendente no tienen sentido.

Answer 3

Re 2: Creo que hay una cierta cantidad de material "intermedio" en el álgebra que es demasiado avanzado para, digamos, una clase de álgebra lineal universitaria, pero que ya se da por sentado en el álgebra de posgrado. Después de obtener mi licenciatura en Harvard, estoy bastante seguro de que no sabía lo que era un producto tensorial y definitivamente no sabía lo que era una secuencia exacta. Cuando un año más tarde empecé a estudiar en el mismo lugar, me sentí un poco paleto por no conocer estas definiciones.

Answer 4

Creo que se puede dividir a grandes rasgos el material del curso en cuatro categorías:

A) Genial y útil

B) Genial, pero no está claro si uno lo "necesitará" después

C) Doloroso de aprender, pero importante después

D) Doloroso de aprender y raramente utilizado, es decir, una pérdida de tiempo.

Esta clasificación varía de una persona a otra. Por ejemplo, para mí las formas diferenciales están en la clase A y los teoremas de Sylow en la clase D, pero para alguien más inclinado al álgebra podría ser lo contrario. (Por cierto, yo no aprendí las formas diferenciales en un curso (aunque podría haberlo hecho), sino que las estudié por mi cuenta, y en general parece que se les da una importancia trágicamente escasa en algunos planes de estudios universitarios).

En mi propia formación de grado creo que tuve más de la clase B que de otra cosa, pero aunque luego no necesitara el contenido específico, disfruté y gané "madurez matemática" y exposición a diferentes tipos de matemáticas.

Creo que estudiar el material en la clase C no es tan bueno pedagógicamente. Para mí, si intento aprender algo antes de necesitarlo, cuando lo necesito ya lo he olvidado todo. En general, creo que los cursos tienen a veces un enfoque demasiado ascendente, es decir, construir las bases antes de saber para qué sirven. Por ejemplo, yendo un poco más allá del nivel de licenciatura, he visto estudiantes de posgrado que están familiarizados con intrincados tecnicismos en los fundamentos de la geometría algebraica, pero que tienen dificultades para dar ejemplos y no conocen los hechos más básicos sobre las curvas algebraicas.

En conclusión, creo que en la enseñanza y el aprendizaje no hay que centrarse tanto en lo "necesario" como en lo "interesante".

Answer 5

Un tema que encontré repetidamente en la educación es que los profesores se deleitan en no decirle a nadie directamente las cosas fundamentalmente importantes. Por ejemplo,

• La idea de unificación no es explícitamente - En su lugar, los estudiantes se les da una tabla de Laplace transformadas de Laplace y suficientes ejercicios para que el proceso sea anónimo anónimamente en sus cabezas.

• Tomando la cocientes de un conjunto por un relación de equivalencia - Al no haber visto cómo construir $\mathbb{Z}$ de $\mathbb{N}$ o $\mathbb{Q}$ de $\mathbb{Z}$ El ritual de construcción de $\mathbb{R}$ (si es se menciona) parece completamente ajeno y se olvida inmediatamente. El mismo estudiante probablemente olvidará (si es que es capaz de entender en el primer lugar) el primer teorema de isomorfismo.

• Lenguaje lógico y las reglas de deducción para probar las declaraciones no son se mencionan - Se espera que uno adquiera este lenguaje como se hace con las cintas de cassette Listen y Repetir cintas de casete. Si es no está claro qué es exactamente una prueba crear una es mucho más intimidante y difícil. Enseñanza de métodos básicos de la ciencia de la computación como la inducción estructural sobre los tipos de de datos debería remediarlo.

• Formas diferenciales se mencionan explícitamente, pero tratamos a estas bestias volubles con mucha precaución. Si se permite que estas cantidades irreales se mezclen libremente con los números y las variables, ¿por qué hay que decirnos constantemente que dividirlas es "puramente formal"? A pesar de que varios fundamentos del análisis han se han hecho rigurosos los principiantes en esta materia no se benefician. Por el contrario se ven perturbados por ella y desarrollan una reacción alérgica a $\epsilon$ .