Expansión integral

Question

Quiero ampliar $Y_{\mu}(a,b)$ alrededor de $b=0$ . He intentado relacionar la integral con la función Q de Marcum generalizada haciendo un cambio de variable, sin embargo no he podido conseguir una relación entre ambas funciones. ¿Crees que escribiendo la función de Bessel modificada como una serie infinita se conseguirá algo o se complicará más la cosa? Alguna idea o pista sobre cómo abordar este problema.

Intento:

Utilizando la definición de la función de Bessel modificada $$ I_{\mu}(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}{\frac{x^{2n+\mu}}{n! 2^{2n+\mu} \Gamma(\mu+n+1)}}$$ Cambiando la integral y la suma, obtengo $$ Y_{\mu}(a,b) = \frac{1}{2} \left(\frac{a}{2}\right)^{2n+\mu-\frac{1}{2}} \sum_{n=0}^{+\infty}{\frac{\Gamma(n+2\mu,b^2)}{\Gamma(\mu+n+\frac{1}{2})}}$$

donde $\Gamma(a,b)$ es la función Gamma superior incompleta.

Gracias.

Answer 1

No hay necesidad de cosas complicadas como $Q-$ funciones:

Definir ( $\mu>-1/2$ )

$$ \mathcal{Y}_{\mu}(a,b)=\int_b^{\infty}\underbrace{x^{2\mu}e^{-x^2}I_{\mu-1/2}(a x^2)}_{f_{\mu}(x,a)}dx $$

Escribimos la integral como $$\mathcal{Y}_{\mu}(a,b)=\int_0^{\infty}f_{\mu}(x,a)dx-\int_0^bf_{\mu}(x,a)dx$$

siempre y cuando $a<1$ todo converge y la división es válida. Además la primera integral de la derecha es una constante independiente de $b$ que denotamos por $C_{\mu}(a)$ .

Para ir más allá observamos que como $b\rightarrow0_+$ una expansión de Taylor en la segunda integral es válida (los argumentos de cualquiera de las funciones contenidas en el integrando son mucho más pequeños que uno). Por tanto,

$$ \int_0^bf_{\mu}(x,a)dx\sim\int_0^bx^{2\mu}\cdot(1+\mathcal{O}(x^2))\cdot \left(\frac{x^{2\mu-1}a^{\mu-1/2}}{2^{\mu-1/2}\Gamma[\mu+1/2]}+\mathcal{O}(x^{2\mu+3})\right)dx=\\b^{4\mu}\underbrace{\frac{a^{\mu-1/2}}{2^{\mu-1/2}\Gamma[\mu+1/2]4\mu}}_{D_{\mu}(a)}+\mathcal{O}(b^{4\mu+2}) $$

y

$$ \mathcal{Y}_{\mu}(a,b)\sim C_{\mu}(a)-D_{\mu}(a)b^{4\mu}+\mathcal{O}(b^{4\mu+2})\quad\text{as}\,\,b\rightarrow 0_+ $$

Obsérvese también que el coeficiente $C_{\mu}(a)$ puede darse en forma cerrada como $C_{\mu}(a)=\frac{2^{-3/2+\mu}(1/a-a)^{-\mu} \Gamma[\mu]}{\sqrt{\pi a}}$ . Para demostrarlo, utilice la integración término a término junto con la fórmula de duplicación para la $\Gamma-$ y la expansión en serie de la raíz cuadrada.