Raíces de $2^{\frac x2} + (\sqrt{2} +1)^x = (5+2 \sqrt{2})^{\frac x2}$

Question

He intentado diferenciar la ecuación para obtener los mínimos y los máximos, pero no he conseguido encontrar las raíces ni siquiera ahí. El ensayo y error proporciona la respuesta=2, sin embargo, estoy buscando un método adecuado. Gracias de antemano. :)

Answer 1

Reescribir como $$a^{x/2}+b^{x/2}=1,$$ avec $$a=\frac{2}{5+2\sqrt2}\text{ and }b=\frac{\left(\sqrt2+1\right)^2}{5+2\sqrt2}=\frac{3+2\sqrt2}{5+2\sqrt2}.$$

Como $0<a,b<1$ la suma de exponenciales es estrictamente decreciente y hay a lo sumo una raíz.

La solución $x=2$ es casi obvio, ya que $a+b=1$ .