Forma cerrada de la integral gaussiana

Question

Dejemos que $X$ ser normal $(0,t)$ . Estoy tratando de encontrar la siguiente expectativa para $m>0$ y $t>0$

$$\mathbb E 2m e^{-m^2t/2}e^{-m X} |X|$$ tenemos por supuesto $$2m e^{-m^2 t/2} \int_{\mathbb R} e^{-mx} |x| e^{-\frac{x^2}{2t}} \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} dx$$ podemos ignorar la constante $ \frac{2m}{\sqrt{2\pi t}}$ por ahora. Dividir la integral para deshacerse del valor abosluto $$\int_{-\infty}^0 -xe^{-mx} e^{-\frac{x^2}{2t}}e^{-m^2 t/2} dx +\int_{0}^\infty xe^{-mx} e^{-\frac{x^2}{2t}}e^{-m^2 t/2} dx$$ He completado el cuadrado y he podido conseguir $$2m\int _0^{\infty } \frac{x }{\sqrt{2\pi t }}\:e^{-\frac{\left(x+mt\right)^2}{2t}}\:dx$$ para la integral derecha que wolfram resuelve como

Answer 1

\begin{equation} I=\sqrt{\frac{2}{\pi t}}m \int\limits_{0}^{+\infty} x e^{-\frac{(x+mt)^{2}}{2t}} \,dx \end{equation}

Dejemos que $z=\frac{(x+mt)^{2}}{2t} \Leftrightarrow 2tz=(x+mt)^{2} \Leftrightarrow \sqrt{2tz}=x+mt \Leftrightarrow \sqrt{2tz}-mt=x$ . Diferenciando ambos lados se obtiene que: $dx=\sqrt{\frac{t}{2}}z^{-\frac{1}{2}}\,dz$ . En relación con los límites de la integración: $z(x=0)=\frac{m^{2}t}{2}$ y en cuanto a la superior, podemos ver que $z(x\rightarrow+\infty)\rightarrow+\infty$ dado que $t>0$ . Para simplificar, dejemos que $\frac{m^{2}t}{2}=k$ . Ahora, conectando todo nos da eso:

\begin{equation} I=\sqrt{\frac{2}{\pi t}}m \int\limits_{k}^{+\infty} (\sqrt{2tz}-mt)e^{-z} \sqrt{\frac{t}{2}}z^{-\frac{1}{2}}\,dz \end{equation}

\begin{equation} \Leftrightarrow \hspace{.2cm}I=\frac{m}{\sqrt{\pi}} \int\limits_{k}^{+\infty} (\sqrt{2tz}-mt)e^{-z} z^{-\frac{1}{2}}\,dz \end{equation}

Tras la distribución, obtenemos lo siguiente:

\begin{equation} I=m\sqrt{\frac{2t}{\pi}} \int\limits_{k}^{+\infty} z^{\frac{1}{2}}e^{-z} z^{-\frac{1}{2}}\,dz-\frac{m^{2}t}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{k}^{+\infty} e^{-z} z^{-\frac{1}{2}}\,dz \end{equation}

\begin{equation} \Leftrightarrow \hspace{.2cm}I=m\sqrt{\frac{2t}{\pi}} \int\limits_{k}^{+\infty} e^{-z} \,dz-\frac{m^{2}t}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{k}^{+\infty} e^{-z} z^{-\frac{1}{2}}\,dz \end{equation}

\begin{equation} \Leftrightarrow \hspace{.2cm}I=m\sqrt{\frac{2t}{\pi}}\times(-e^{-z})\Big|_{k}^{+\infty}-\frac{m^{2}t}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{k}^{+\infty} e^{-z} z^{-\frac{1}{2}}\,dz \end{equation}

\begin{equation} \Leftrightarrow \hspace{.2cm}I=m\sqrt{\frac{2t}{\pi}} e^{-k}-\frac{m^{2}t}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{k}^{+\infty} e^{-z} z^{-\frac{1}{2}}\,dz \end{equation}

La segunda integral puede calcularse a través de la función de error complementaria (o función gamma incompleta), que se define como sigue:

\begin{equation} \mathrm{erfc}(x)=1-\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{x}^{+\infty} e^{-t^{2}} \,dt \end{equation}

Dejemos que $t^{2}=z$ , lo que implica que: $dt=\frac{1}{2}z^{-\frac{1}{2}}\,dz$ . El límite superior se mantiene igual. El nuevo límite inferior es $x^{2}$ . Entonces:

\begin{equation} \mathrm{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{x^{2}}^{+\infty} e^{-z} \frac{1}{2}z^{-\frac{1}{2}}\,dz \end{equation}

\begin{equation} \Leftrightarrow \hspace{.2cm}\mathrm{erfc}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int\limits_{x^{2}}^{+\infty} e^{-z} z^{-\frac{1}{2}}\,dz=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\Gamma\left(\frac{1}{2},x^{2}\right) \end{equation}

Ahora, esta integral tiene la misma forma que la que queremos evaluar, con $k=x^{2}$ . Entonces, nuestra integral no es más que $\mathrm{erfc}(\sqrt{k})$ . Por lo tanto, ahora sabemos que:

\begin{equation} I=m\sqrt{\frac{2t}{\pi}} e^{-k}-m^{2}t\,\mathrm{erfc}(\sqrt{k}) \end{equation}

Recordemos que $k=\frac{m^{2}t}{2}$ Entonces concluimos que:

\begin{equation} \boxed{I=m\sqrt{\frac{2t}{\pi}} e^{-\frac{m^{2}t}{2}}-m^{2}t\,\mathrm{erfc}\left(m\sqrt{\frac{t}{2}}\right)=m\sqrt{\frac{2t}{\pi}} e^{-\frac{m^{2}t}{2}}-m^{2}t\,\Gamma\left(\frac{1}{2},\frac{m^{2}t}{2}\right)} \end{equation}