Detalles sobre el plethysm

Question

Actualmente estoy trabajando en el plethysm, es decir, el carácter de la composición $S^\lambda(S^\mu(V))$ de los funtores de Schur $S^\lambda$ y $S^\mu$ en un espacio vectorial complejo $V$ . Observamos este carácter $s_\lambda[s_\mu]$ . Hay que saber que el carácter de $S^\mu(V)$ es la función de Schur $s_\mu$ .

Queremos encontrar la representación irreductible de $S^\lambda(S^\mu(V))$ o, por el contrario, escribir $s_\lambda[s_\mu]$ en una suma de funciones de Schur. Es muy poco lo que se sabe al respecto, y esta operación apenas se menciona en la literatura que he encontrado.

He trabajado con el plethysm sobre todo en el contexto de unas "prácticas de investigación en matemáticas", así que me he saltado algunos detalles de toda esta teoría para hacer hincapié en el uso del ordenador en las matemáticas puras.

Tengo 3 preguntas sobre todo esto y no encuentro referencias:

1) Sé cómo calcular el pletus en términos de funciones simétricas de suma de potencias, pero ¿por qué se define así?

2) ¿Qué se sabe o se conjetura sobre las operaciones sobre pletinas que son Schur-positivas (es decir, que sólo tienen coeficientes no negativos cuando se expresan en términos de funciones de Schur), como la conjunción de Foulkes, que decía que $\forall a,b \in \mathbb{N}, \ a \leq b, \ h_b[h_a] - h_a[h_b]$ es Schur-positivo, donde $h_n = s_{(n)}$ ¿la función schur indexada con una sola parte?

3) ¿Dónde puedo encontrar versiones claras (y con el uso de notaciones modernas) de las pruebas de Thrall de $h_2[h_n]$ , $h_n[h_2]$ y $h_3[h_n]$ ?

Gracias de antemano por las explicaciones breves o por las referencias.

Answer 1

De los tres pleitos en 3), $h_n[h_2]$ es el más sencillo. Una prueba "moderna" puede encontrarse, por ejemplo, en el ejemplo A2.9 (página 449) de Combinatoria Enumerativa vol. 2. Esto lo conocía D. E. Littlewood mucho antes que Thrall. Es posible que sea incluso más antiguo, aunque no se haya expresado en el lenguaje del plethysm.

Para $h_2[h_n]$ Aquí hay un argumento. Tenga en cuenta que $h_2=\frac 12(p_1^2+p_2)$ . Por lo tanto, $$ h_2[h_n] =\frac 12(h_n^2+h_n(x_1^2,x_2^2,\dots)). $$ Ahora \begin{eqnarray*} \sum_{n\geq 0}h_n(x_1^2,x_2^2,\dots) & = & \frac{1} {\prod(1-x_i^2)}\\ & = & \frac{1}{\prod(1-x_i)(1+x_i)}\\ & = & \left( \sum_{j\geq 0} h_j\right)\left( \sum_{k\geq 0} (-1)^k h_k\right), \end{eqnarray*} de donde $$ h_2[h_n] =\frac 12\left(h_n^2+\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k h_k h_{2n-k}\right). $$ Ampliar $h_n^2$ y $h_kh_{2n-k}$ en funciones de Schur por la regla de Pieri y juntar los términos para obtener $$ h_2[h_n]=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}s_{(2n-2k,2k)}. $$ Una referencia para $h_3[h_n]$ es S. P. O. Plunkett, Canad. J. Math. 24 (1972), 541--552.