¿Cómo se puede interpretar un módulo como un espacio vectorial? (en una circunstancia concreta)

Question

Estoy leyendo un comentario en Atiyah, Macdonald - Introducción al álgebra conmutativa y no puedo ver realmente lo que está pasando.

Después de dar la definición y algunos ejemplos de $R$ -Módulos (para un anillo $R$ ), aparece la siguiente declaración:

Si $A = k[x]$ , donde $k$ es un campo, entonces un $A$ -es un módulo $k$ -con una transformación lineal.

No sé cómo "precisar" esta afirmación. Ciertamente, $A$ es un anillo en este caso, por lo que el concepto de $A$ -módulo está bien definido.

Desde luego, estoy abierto a cualquier sugerencia, aunque sea vaga; creo que me beneficiaría trabajar en los detalles y necesito familiarizarme rápidamente con estas ideas.

Answer 1

Dejemos que $M$ ser una izquierda $A$ -módulo. Entonces $M$ es también un módulo sobre el subring de polinomios constantes, que es isomorfo a $k$ . Esto hace que $M$ un espacio vectorial sobre $k$ . Ahora dejemos que $T:M\to M$ se define por $T(m)=x\cdot m$ . Entonces $T$ es una transformación lineal en $M$ . La acción de $A$ en $M$ viene dada por $p(x)\cdot m =p(T)(m)$ .

Por el contrario, si $V$ es un $k$ -y el espacio vectorial $T$ es una transformación lineal en $V$ , entonces definiendo $p(x)\cdot v=p(T)(v)$ hace $V$ un $A$ -módulo.

Answer 2

En primer lugar, si $S$ es un subring de $R$ y $M$ es un $R$ -módulo, entonces $M$ es automáticamente un $S$ -módulo. [Para concretar esto sólo hay que pensar en algo como $\mathbb{R}^2$ . Es un $\mathbb{R}$ -(un espacio vectorial real), pero también es un $\mathbb{Z}$ -módulo (ya que se puede escalar por números reales, también se puede escalar por enteros)].

Por lo tanto, cualquier $k[x]$ -es un módulo $k$ -(por tanto, un $k$ -espacio vectorial). A continuación, considera los axiomas del módulo. ¿Puedes demostrar que la acción de " $x$ "¿es una transformación lineal?

Por el contrario, si se toma un espacio vectorial con transformación lineal (llámese " $T$ "). Entonces, dejemos que $x$ actuar como $T$ : $x \cdot x \cdot v =T(T(v))$ etc. ¡Zas! Obtienes un $k[x]$ en su espacio vectorial.