Teorema. (Divisores elementales). Sea $R$ ser un $PID$ , $M$ un módulo gratuito, $N$ un submódulo. Supongamos que $N$ está libre de rango $n<\infty$ . Entonces existe una descomposición $M=M'\bigoplus M''$ y elementos $x_1,...,x_n\in M'$ y $a_1,...,a_n\in R$ tal que $M'=Rx_1\bigoplus\cdots\bigoplus Rx_n, N=Ra_1x_1\bigoplus\cdots\bigoplus Ra_nx_n, \left<a_1\right>\supset\cdots\supset\left<a_n\right>\neq0$ . Además, $M$ y $N$ determinar $M'$ y cada $a_i$ hasta el múltiplo de la unidad.
Pregunta para el caso $n=0$ ) En la prueba que estoy leyendo, para $n=0$ tomamos $M'=0$ y dice que como no $a_i$ ou $x_i$ son necesarios, $M''=M$ y el caso es trivial. Pero no estoy seguro de por qué. Cuando $n=0$ , $N$ está libre de rango $0$ . Así que $N=0$ . Y no puedo ir más allá. Además, como $n=0$ ¿Significa eso que tomamos $0$ elementos de $M'$ y $R$ ¿Significa que no hay elementos?
El teorema es el Teorema 5.38 en el siguiente enlace, https://web.mit.edu/18.705/www/13Ed.pdf
