Sé que el intervalo abierto $(1,2)$ es incontable. Así que hay una cantidad infinita de números reales en el intervalo. ¿Existe una relación entre los números racionales y los irracionales?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Jaideep Khare
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Podemos poner el conjunto de los números racionales y los números naturales en correspondencia uno a uno, y por lo tanto demostrar que el número de números naturales es igual al número de números racionales.
Por lo tanto, tenemos $\mathbb{R}$ (Números reales) un infinito incontable.
$\mathbb{Q}$ (Números racionales) un infinito contable, y, $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ (Números irracionales) un infinito incontable.
Por lo tanto, el número de números irracionales es estrictamente mayor que los números irracionales.
Por lo tanto, la relación entre números racionales e irracionales es $0$ .
Masacroso
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La función
$$f(x):=\frac1{x-1},\quad x\in(1,2)$$
es una biyección de $(1,2)$ a $(1,\infty)$ con la propiedad de asignar números racionales a números racionales y números irracionales a números irracionales.
Si sabe que $(1,\infty)$ tienen el mismo número de racionales e irracionales que $\Bbb R$ ya está hecho.
Alex
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El cociente es cero, el conjunto de los racionales es denumerable (contable) mientras que los irracionales son incontables. Para probar la cardinalidad de $\mathbb Q$ véase ¿Producir una biyección explícita entre los racionales y los naturales? . A continuación, observe que $((1,2)\cap\mathbb Q)\cup((1,2)\cap(\mathbb R - \mathbb Q))=(1,2)$ donde $\mathbb R - \mathbb Q$ denota los irracionales. Dado que $(1,2)\cap\mathbb Q$ es contable y $(1,2)$ es incontable debe ser el caso que $(1,2)\cap(\mathbb R - \mathbb Q)$ es incontable ya que la unión finita de conjuntos contables es contable.
Dvir R
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En otras palabras, estás preguntando cuál es la integral de Lebesgue de la función de Dirichlet (la función característica de los racionales): $$ D(x) =1_{\mathbb Q}(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{if } x\in\mathbb Q \\ 0 & \mbox{if } x \notin \mathbb Q \end{matrix}\right. $$ Como los racionales son contables, la medida de Lebesgue de los números racionales es $0$ . Por lo tanto, la función de Dirichlet es igual a $0$ en casi todas partes y la respuesta es $\int D(x)=0$ .
