Lo primero es lo primero. Para encontrar los valores propios y los vectores propios de una matriz hay que calcular el polinomio característico, que viene dado por la evaluación de
$$\mathcal{X}_A(\lambda) =det(\lambda - A) = det (A - \lambda) = 0$$
donde $$ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
Una vez que haya hecho esto, debería obtener $\mathcal{X}(\lambda) = \lambda(\lambda -3)^2$ . De esta ecuación se puede ver que tiene tres valores propios: $\lambda_1 = 0, \lambda_{2,3} = 3$ . Ahora te interesa encontrar los vectores propios correspondientes a estos valores propios y puedes hacerlo evaluando los espacios propios de los valores propios:
$$E(A,\lambda_1):=Kern(A-\lambda_1) = Kern (A)$$
Para saber $Kern(A)$ hay que encontrar el vector $v_1$ tal que $A \cdot v_1 = 0$ puedes hacerlo resolviendo el sistema
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot v_1= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$ Deberías ser capaz de resolver este sistema de ecuaciones lineales con la ayuda del algoritmo gaussiano . En nuestro caso restamos la primera línea a la segunda línea de nuestra matriz y esto es lo que obtenemos: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot v_1= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \overset{II - I}{\leadsto} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot v_1= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$
El siguiente paso del algoritmo guassiano es, por ejemplo, éste: se añade la tercera línea a la primera y se ve que la tercera línea se anula:
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot v_1= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \overset{III + I}{\leadsto} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot v_1= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$$
Lo que puedes ver es que la tercera componente del vector solución $v_1$ es un parámetro, lo establecemos como $k$ . De hecho, se tienen infinitas soluciones para este sistema de ecuaciones, y cuando se evalúan los eigenspaces de una matriz se obtiene siempre ¡tienen infinitas soluciones! Esas soluciones son, de hecho, la extensión de los vectores propios. Sin embargo, si se fija la tercera componente de $v_1$ para ser $k$ verás que
$$v_1 = \begin{pmatrix} 2k \\ \frac{k}{3} \\ k \end{pmatrix}= k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ \frac{-1}{3} \\ 1 \end{pmatrix}$$
Donde $k \in \mathbb{R}\backslash \{0\}$ (se encuentra la solución de $v_1$ tomando $k=3$ ). Por lo tanto, $E(A,\lambda_1) = span \{ v_1 \}$
Para encontrar los otros vectores propios se hace lo mismo. Se evalúa la solución del eigespacio
$$E(A, \lambda_{2,3}) = Kern (A-3\mathbb{1}) = Kern\left(\begin{pmatrix} -2 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}\right)$$
Os dejo el cálculo y la solución debería ser $v_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$ que es exactamente la solución que buscas. Espero que ahora que te he mostrado cómo encontrar dicha solución también seas capaz de encontrarla, si no sólo escríbelo en la sección de comentarios de abajo y te ayudaré.
Hay algunas observaciones que debe tener en cuenta. Como puedes ver la dimensión de tu matriz es $3$ , pero sólo tenemos $2$ vectores propios. Esto se debe a que su matriz no es diagonalizable. De hecho una matriz es diagonalizable si y sólo si la suma de la dimensión de los espacios propios es igual a la dimensión de la matriz. Probablemente verás muy pronto la famosa Forma Normal de Jordan de una matriz y una vez que la hayas visto te recomiendo que vuelvas a hacer este ejercicio y trates de entender por qué la matriz $A$ sólo tiene dos vectores propios y dónde está el tercer vector propio desaparecido. Espero que entiendas mis cálculos, si no es así pregúntame :-)
