Ejemplos intuitivos de los tensores (r,0)

Question

Es fácil encontrar ejemplos "intuitivos" de $(0, r)$ tensores o incluso $(k, r)$ tensores $( k, r > 0)$ . A efectos de esta pregunta, considero que un tensor en el sentido "clásico" está representado por una forma multilineal. Por ejemplo, todo espacio de producto interno tiene un producto interno asociado que no es más que un $(0, 2)$ -tensor que satisface ciertas propiedades. Además, si $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{F}$ y $V^{*}$ denota su dual, entonces el mapa de evaluación $E:V^{*} \times V \rightarrow \mathbb{F}$ dado por $E(f,v) = f(v)$ es un ejemplo de $(1, 1)$ tensor. ¿Cuáles son algunos ejemplos elementales/intuitivos de $(k,0)$ ¿Tensores?

Answer 1

Ejemplos de tensores completamente contravariantes:

• El tensor tensión-energía.
• La métrica inversa.
• Hojas, multivectores o pseudovectores.

Intuitivo ejemplos de tensores completamente contravariantes:

• El bivector de momento angular.
• El bivector de par.

Answer 2

Todo depende. Desgraciadamente, dado que la dimensión es el único invariante de los espacios vectoriales, existen literalmente más de cinco definiciones comunes equivalentes de $V\otimes V$ Se me ocurre. Probablemente la que mejor se adapte a tus necesidades es pensar en un $(m,n)$ -como un mapa multilineal $T:\text{Hom}(V,F)^m\times V^n\to F$ . Así, por ejemplo, tomando $m=0$ da que un $(0,n)$ -tensor no es más que un miembro de $\text{Mult}_m(V,F)$ ( $m$ -mapas lineales en $V^m$ ) y tomando $n=0$ da que $(m,0)$ -Los tensores son sólo $m$ -mapas lineales en $\text{Hom}(V,F)^m$ .

¿Ayuda eso?