Demostrar que la desigualdad es verdadera, tres variables

Question

Demostrar que para todos los números reales positivos $a,b,c$ que tenemos:

$$\frac{1}{4a}+\frac{1}{4b}+\frac{1}{4c}+\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}\geq\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$$

Hasta ahora he resuelto para $a=b=c=1$ y $a=1$ , $b=2$ , $c=3$ para demostrar que la desigualdad se cumple, pero necesito que la respuesta se escriba más como una prueba, no estoy seguro de qué teoremas aplicar para demostrar que la desigualdad se cumple.

Answer 1

Para todos los números reales está mal, por supuesto.

Para los positivos $a$ , $b$ y $c$ podemos utilizar un método integral:

Vemos que para todos los positivos $x$ , $y$ y $z$ se cumple la siguiente desigualdad. $$\sum\limits_{cyc}(x^4-2x^2y^2+x^2yz)\geq0$$ De hecho, por Schur $$\sum\limits_{cyc}(x^4-2x^2y^2+x^2yz)=\sum\limits_{cyc}(x^4-x^3y-x^3z+x^2yz)+\sum\limits_{cyc}xy(x-y)^2\geq0$$ Por lo tanto, $\sum\limits_{cyc}\left(t^{4a}-2t^{2a+2b}+t^{2a+b+c}\right)\geq0$ , donde $t>0$ o

$\sum\limits_{cyc}\left(t^{4a-1}-2t^{2a+2b-1}+t^{2a+b+c-1}\right)\geq0$ .

Así, $\int\limits_{0}^1\sum\limits_{cyc}\left(t^{4a-1}-2t^{2a+2b-1}+t^{2a+b+c-1}\right)dt\geq0$ ,

que da su desigualdad. ¡Listo!

Answer 2

También podemos utilizar $uvw$ aquí.

Dejemos que $a+b+c=3u$ , $ab+ac+bc=3v^2$ y $abc=w^3$ .

Por lo tanto, tenemos que demostrar que $\frac{3v^2}{4w^3}+\frac{\sum\limits_{cyc}(3u+a)(3u+b)}{\prod\limits_{cyc}(3u+a)}\geq\frac{\sum\limits_{cyc}(a+b)(a+c)}{9uv^2-w^3}$ o

$\frac{v^2}{4w^3}+\frac{15u^2+v^2}{54u^3+9uv^2+w^3}\geq\frac{3u^2-v^2}{9uv^2-w^3}$ que es $f(w^3)\geq0$ ,

donde $f$ es una función cóncava (es obvio que el coeficiente antes de $w^6$ es negativo).

Pero una función cóncava obtiene un valor mínimo para un valor extremo de $w^3$ ,

lo que ocurre en los siguientes casos.

1. $w^3\rightarrow0^+$ . En este caso nuestra desigualdad es obviamente cierta.

2. $b=c=1$ , lo que da $(a-1)^2\geq0$ . Hecho.

Answer 3

También podemos usar una expansión completa: $$\sum\limits_{sym}(2a^6b^2-2a^6bc+9a^5b^3+7a^4b^4-3a^5b^2c+13a^3b^3c-9a^4b^2c^2-17a^3b^3c^2)\geq0$$

lo cual es obviamente cierto por Muirhead.