Demostrar que existe $e_1,\dots,e_n\in\{-1,1\}$ tal que $|e_1z_1+{\dots}+e_nz_n|\le\sqrt2$

Question

Deje $z_1,\dots,z_n\in\mathbb{C}$ tal que $|z_p|\le1$ por cada $p\in\{1,\dots,n\}$. Demostrar que existe $e_1,\dots,e_n\in\{-1,1\}$ tal que $|e_1z_1+{\dots}+e_nz_n|\le\sqrt2$.

Tengo en primer lugar trató el uso de la inducción. Para $n=1$ he $|e_1z_1|=|z_1|\le1\le2$, de modo que es cierto. Entonces supuse que $|L|\le\sqrt2$ donde $L=e_1z_1+{\dots}+e_kz_k$ algunos $k\in\mathbb{N},k\le n$. Entonces traté de demostrar que es cierto para $k+1$. Pero luego me di cuenta de que es imposible para cualquier $z_{k+1}$ si no me cambian los valores de $e_1,\dots,e_k$ porque $|z_p|\le1$, pero $|L|\le\sqrt2$. Mi segundo intento es escribir los números de $z_1,\dots,z_n$ en forma trigonométrica. Deje $|z_p|=r_p$$\arg(z_p)=a_p$. Entonces tengo que demostrar que $$\sqrt{(e_1r_1\cos a_1+{\dots}+e_nr_n\cos a_n)^2+(e_1r_1\sin b_1+{\dots}+e_nr_n\sin b_n)^2}\le\sqrt2$$ pero no sé cómo me puede ayudar a demostrar principal de la desigualdad. ¿Cuál es la mejor manera de demostrarlo?

Answer 1

Resultado Parcial:

Primero divide la unidad de disco en sectores iguales como se muestra a continuación.

Observe que la adición de dos vectores de sectores opuestos resultados en un vector también en el círculo unidad. Ya que podemos elegir si un vector está en un sector o de su opuesto (posiblemente multiplicando por $-1$), podemos reducir el problema al caso de $n=3$ (donde cada vector se encuentra en otra zona de color).

Answer 2

Pedro Woolfitt la respuesta básicamente resuelve el problema. Como él mismo explica, se puede reducir al caso $n=3$, donde $\arg(z_1)$, $\arg(z_2)$ y $\arg(z_3)$ mentira en $[0, \pi/3]$, $[2 \pi/3, \pi]$ y $[4 \pi/3,5 \pi/3]$ respectivamente. Pero, si $w$ $z$ se encuentran en la unidad de disco y $2 \pi/3 \leq \arg(w) - \arg(z) \leq \pi$, $w+z$ está en el círculo unidad. Esto se aplicará de uno de los tres pares de $(z_1, z_2)$, $(z_2, z_3)$ y $(z_3, z_1)$, por lo que podemos reducir a $n=2$.

Posiblemente sustituyendo $z_2$$-z_2$, podemos asumir que $z_1$ $z_2$ hacer un ángulo obtuso con cada uno de los otros. A continuación,$|z_1+z_2| \leq \sqrt{2}$, como se desee.