¿será la DTFT equivalente a la CTFT cuando el intervalo de muestreo sea cero?

Question

Dada una señal natural continua x(t), entonces la CTFT de x(t) es $$X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty} x(t) e^{-j \omega t} dt $$ La DTFT de x(t) es $$X(\Omega)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n] e^{-j \Omega n}$$ Hasta donde yo sé, $$Y(\omega)= X(\Omega) |_{\Omega=\omega T}$$ Donde $$y(t)= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x(t)\delta(t-nT)$$ Y T es el intervalo de la muestra.

¿Será Y() igual a X() cuando T tiende a cero? Intuitivamente, y(t) puede ser igual a x(t) si T tiende a cero, pero ¿cómo entenderlo de forma matemática?

Answer 1

Es más fácil ver si su señal es periódica con periodo $T$ . Entonces sus integrales deben extenderse desde $0$ a $T$ . La suma de la DTFT debe multiplicarse por el tiempo entre muestras. En ese momento se convierte en una simple aproximación a la suma de Riemann que representa la integral. A medida que el tiempo entre muestras se hace más pequeño se aproxima cada vez mejor a la integral. Esa es la relación que se busca.