Sistema lineal completo en superficies Del Pezzo

Question

¿Existe siempre una curva reducible (EDIT: con exactamente dos componentes irreducibles que se cruzan en al menos 2 puntos) en un sistema lineal completo (EDIT: de dimensión al menos 2 con curvas de género al menos 1) en una superficie Del Pezzo?

Answer 1

No. Deja que $S$ sea una superficie Del Pezzo de grado 1, a saber $K^2_S=1$ . El sistema anticanónico $|-K_S|$ tiene dimensión 1 y no contiene ninguna curva reducible, ya que $-K_S$ es amplia y tiene auto-intersección $1$ .

EDIT: el sistema de líneas en $\mathbb P^2$ muestra que la respuesta a la pregunta editada también es negativa. Otros contraejemplos vienen dados por el sistema de curvas de $\mathbb P^1\times\mathbb P^1$ de bidegreee $(1,n)$ , $n\ge 1$ .