¿Cómo calcular la distribución de la fuerza normal en un cuerpo?

Question

Estaba resolviendo un problema y me encontré con una confusión respecto al punto de aplicación de la Fuerza Normal. En Mecánica Clásica 101, siempre habíamos tratado la Fuerza Normal como actuando en un punto (que se puede llamar como el "centro" de la Fuerza Normal), y se calculaba aplicando las Leyes de Newton (equilibrando fuerzas y pares).

Pero cómo determinar la distribución exacta de la Fuerza Normal sobre la superficie de un cuerpo si el contacto es no ¿en puntos?

Porque puede haber muchas distribuciones que den como resultado el mismo centro para la fuerza Normal. Entonces, ¿este modelo para la fuerza Normal es incompleto?

Editar

El problema que estaba resolviendo era el siguiente. Imagina un libro guardado en un trozo de madera de tal manera que el libro cubre sólo la mitad de la pieza. Puedo averiguar el centro de Reacción Normal pero no cómo se distribuye por la superficie.

Answer 1

Hay que tener en cuenta las propiedades elásticas del contacto para determinar la distribución de fuerzas. En realidad, lo que te interesa es la distribución de presiones, ya que sumas las presiones para obtener la fuerza, y sumas el momento de presión para obtener el par. Imagina un área de contacto con el centro en el punto de contacto, el z -eje normal al contacto, y el xy plano a lo largo del contacto.

$$ \begin{aligned} F_z & = \int P(x,y) \, {\rm d} A \\ M_x & = \int (-y) P(x,y) \,{\rm d} A \\ M_y & = \int (+x) P(x,y)\, {\rm d} A \end{aligned} $$

Así que dada una distribución de presión $P(x,y)$ se pueden encontrar las fuerzas, pero ¿cómo obtener la distribución de la presión?

El ejemplo más básico es un objeto que empuja sobre un plano. Consideremos el caso en el que hay una cantidad de solapamiento conocida $a(x,y)$ en función de la ubicación en el contacto

Como resultado, la superficie del objeto (curva roja) debe deformarse en $\delta(x,y)$ para ajustarse al solapamiento. Para ello, debe aplicarse al objeto una presión superficial (curva amarilla)

La relación de desviación de la presión fue desarrollada por Boussinesq y se ve así

$$ \delta(x,y) = \frac{1-\nu^2}{\pi E} \iint \frac{P(u,v)}{r} {\rm d} A $$

_{donde <span class="math-container">$r=\sqrt{(x-u)^2+(y-v)^2}$</span> y <span class="math-container">$\nu$</span> es el <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson%27s_ratio" rel="nofollow noreferrer">Relación de Poisson </a>del material y <span class="math-container">$E$</span> es el <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Elastic_modulus" rel="nofollow noreferrer">Módulo elástico </a>.}

Un caso especial para lo anterior es el Contacto hertziano que trata de una esfera sobre un plano, una esfera sobre una esfera, un cilindro sobre un cilindro (contacto 2D) y un contacto general con forma de fútbol (dos radios).

El caso general sólo puede ser tratado numéricamente con el contacto se dividen en una cuadrícula y se desarrolla un sistema gigante de ecuaciones de la forma $\delta_i = C_{i j} P_j$ (Solución Hartnett).

Los pasos son los siguientes:

1. Asumir una cierta cantidad de solapamiento $a(x,y)$ derivado de la cantidad máxima de penetración.
2. Establece las deflexiones iguales al solapamiento, y resuelve las presiones $P(x,y)$ .
3. Calcule la carga total y los momentos, y ajuste el solapamiento en consecuencia. Si la carga total es inferior a la carga aplicada, aumente el solapamiento, y si el momento total es inferior al par aplicado, incline el objeto
4. Si las fuerzas y los momentos siguen estando desequilibrados, vaya al paso 2 y repita la operación hasta lograr la convergencia.

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Ver este documento detallado para un ejemplo de análisis numérico de contactos. Y aquí hay un documento del NIST con algo de teoría sobre el problema general de contacto.

Answer 2

La distribución de una fuerza sobre la superficie de un cuerpo (a diferencia de un "punto") se denomina tensión. Si la fuerza es normal (perpendicular) al cuerpo, se denomina tensión normal y viene dada por

$$σ=\frac{F}{A}$$

Cuando se trata de fuerzas sobre cuerpos deformables (y todos los cuerpos son deformables) la fuerza nunca se aplica a un "punto". Un punto no tiene área. De la ecuación se deduce que si $A$ es cero, tendrías una tensión aplicada infinita.

La deformación δ para la carga uniaxial debida a la tensión aplicada viene dada por:

$$δ=\frac{PL}{AE}$$

donde $P$ es la carga (fuerza normal), $L$ es la longitud del miembro, $A$ es el área de la sección transversal y $E$ es el módulo de elasticidad del material que es una medida de su rigidez y $\frac{P}{A}$ es la tensión normal.

Por lo tanto, si la carga se aplicara en un punto (área cero), el cuerpo tendría que ser infinitamente rígido (un cuerpo rígido idea) para no tener ninguna deformación. No existe un cuerpo rígido ideal, al menos a nivel macroscópico.

Espero que esto ayude.