Demostrar que si $P \subset \mathbb{R^n}$ es un intervalo cerrado, $A \subseteq P$ es un conjunto cerrado y $\lambda_{n} (P) = \lambda_{n} (A)$ entonces $P=A$ .

Question

En la pregunta, $\lambda_{n} (P)$ es la medida de Lebesgue en Lebesgue $\sigma$ -álgebra en $\mathbb{R^n}$ . Esto es probablemente muy fácil, pero estoy atascado. Sé que $\lambda_{n} (A) + \lambda_{n} (P \setminus A) = \lambda_{n} (P)$ y se deduce que $P \setminus A$ es un conjunto nulo. ¿Cómo puedo demostrar que es vacío?

Answer 1

Intentaré demostrar que $A$ es denso en $P$ con la topología inducida. Dado que $A$ está cerrado en $P$ , $P=A$ .

Dejemos que $B\cap P$ , $B$ abrir en $\mathbb {R}^n$ sea un conjunto abierto en la topología inducida.

Si $B\cap P\neq \emptyset$ Me he dado cuenta de que $B \cap P$ tiene al menos un punto interior (pista, si la intersección tiene sólo puntos fronterizos de P, $B$ no es abierto, tiene algunos puntos no interiores, por lo que tiene que ser $B \cap int(P) \neq \emptyset$ que es un conjunto abierto. Aquí estoy usando eso $P$ es un intervalo )

$\lambda(B\cap P) \geq \lambda(B\cap int(P))> 0 $ ya que este conjunto está abierto en $\mathbb{R}^n$ y tiene que tener dentro un intervalo abierto de la base.

Esto significa que $B \cap P \not\subset P\setminus A$ debido a la monotonicidad de la medida, por lo que todo abierto en $P$ tiene que intersecar con $A$ . Así que $A$ es denso en $P$ .

Answer 2

Dejemos que $Q$ denotan el interior de $P$ . Tenga en cuenta que $\lambda_n(P \setminus Q) = 0$ .

Usted tiene $$\lambda_n(A) = \lambda_n(P) = \lambda_n(Q) = \lambda_n(Q \cap A) + \lambda_n(Q \setminus A)$$ y $$\lambda_n(Q \cap A) = \lambda_n(P \cap A) = \lambda_n(A)$$ del que se obtiene $\lambda_n(Q \setminus A) = 0$ . Desde $Q \setminus A$ es abierto, se deduce que $Q \setminus A = \emptyset$ . Así, $A \cap Q = Q$ para que $$P = \overline Q = \overline{A \cap Q} \subset \overline A = A \subset P.$$ Así, $A=P$ .