¿Puede un conjunto discreto del plano de densidad uniforme intersecar todos los triángulos grandes?

Question

Sea S un subconjunto discreto del plano euclidiano tal que el número de puntos de un disco grande es aproximadamente igual al área del disco. ¿El complemento de S contiene necesariamente triángulos de área arbitrariamente grande?

(Añadido en julio de 2021:) Recientemente me he enterado de que esto es El problema de Danzer . Un conjunto Danzer ( https://en.wikipedia.org/wiki/Danzer_set ) es un contraejemplo. Aparentemente no es tan conocido, aunque el comienzo de la respuesta de Gowers sugiere que ha oído hablar de él.

Answer 1

Creo que puedo descartar algunos rectángulos muy largos, en el modelo de girasol de David.

En particular, si una esquina del rectángulo está con \sqrt{R} del origen, entonces el rectángulo tiene una longitud de lado como máximo R . Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea del todo útil; al estilo de los polímatas, ¡alguien puede señalármelo!

El argumento es el siguiente. Escribamos Θ (x,y,r) para la anchura angular de la cuña vacía más ancha con base en (x,y) y el radio r . La propiedad importante del modelo de girasol es que la cuña más ancha en el origen con radio r tiene una anchura máxima de c/r^2 para alguna constante c , es decir, Θ (0,0,r) ≤ c/r^2 . Ahora pasemos a un punto arbitrario (x,y)=(r ₀ cos θ , r ₀ sin θ ) . El ángulo a un punto P difiere del ángulo desde el origen hasta P por un máximo de r ₀ /2R , donde R es la distancia desde el origen hasta P . Así,

Θ (r ₀ cos θ , r ₀ sin θ , R') ≤ Θ (0,0,R'-r ₀ ) + r ₀ /(R'-r ₀ ) .

Siempre y cuando R' ≥ r ₀ ^2 esto es lo suficientemente pequeño como para que no tengamos que preocuparnos. Como es la cantidad R Θ (x,y,R) que necesitamos acotar, desgraciadamente creo que esto es lo mejor que se puede hacer sin usar nada más fuerte sobre la distribución de puntos.

Answer 2

He mencionado una condición necesaria y suficiente que debe satisfacer un conjunto para intersecar todos los triángulos grandes. Aquí describiré un conjunto que satisface una versión (muy) débil de esa condición, es decir, que las proyecciones de las franjas alrededor del eje x satisfacen la propiedad correspondiente. En realidad describiré la construcción en [0, 1) x [0, \infty ); podemos traducir para obtener todo el eje x. No soy optimista en cuanto a que esto pueda convertirse en algo que resuelva el problema, pero lo describiré de todos modos ya que espero que sea ilustrativo.

Lo fundamental es que las fracciones binarias m/2^k son densas en los reales, y las que están entre 0 y 1 tienen un ordenamiento sencillo que nos permite satisfacer la condición de densidad. La construcción es la siguiente: Se coloca un punto en (0, 0), y para cada entero positivo m con expansión binaria 1a_2...a_k, se coloca un punto en (0,a_k...a_2 1, m). Así, por ejemplo, hay puntos en (1/2, 1), y en (3/8, 6). Entonces un cuadrado de lado n tiene como máximo n^2 puntos dentro de él, por razones obvias. La propiedad de proyección de las franjas R x [0, y) sobre el eje x se comprueba también fácilmente. (Pregunta: ¿Satisface esto la propiedad de proyección de las franjas paralelas al eje x? Creo que sí, esencialmente porque esto está relacionado con la 2-adicidad).

Obviamente podemos hacer algo similar para cualquier primo p que sustituya a 2. Me interesaría ver, sin embargo, si alguien puede proporcionar una construcción apropiada de este tipo para el "primo infinito" -- ¿tiene propiedades igualmente agradables?