Esta pregunta es exasperante. Creo que he hecho algunos progresos, y me gustaría escuchar las opiniones de los demás. Por lo tanto, estoy haciendo este post un wiki de la comunidad:
En primer lugar, cualquier triángulo de área A contiene un rectángulo de área A/2. Prueba: sea el triángulo ABC, siendo AC el lado más largo. Sean P y Q los puntos medios de AB y BC, y sean R y S los pies de las perpendiculares de P y Q a AC. Entonces PQSR es un rectángulo del área requerida. A la inversa, un rectángulo de área A contiene un triángulo de área A/2. Por tanto, podemos preguntarnos si hay rectángulos grandes en el complemento.
Esto es conveniente porque especificar un triángulo implica 6 parámetros, mientras que especificar un rectángulo sólo tiene 5. Así que esto reduce nuestro espacio de búsqueda en una dimensión. Los parámetros más convenientes para un rectángulo son la longitud del lado más largo, L, el área, A, y el ángulo del lado más largo, $\theta$ y uno de los vértices $(x,y)$ . Llamaré al tipo de rectángulo $(L, A, \theta)$ olvidando los parámetros de traducción.
Ahora tengo una solución conjetural, aunque no tengo idea de cómo demostrar que funciona. La llamo la configuración del girasol, porque está inspirada en el patrón de floretes en el centro de un girasol.
Dejemos que $\tau$ sea la proporción áurea. Consideremos la secuencia de puntos $(\sqrt{k} \cos(2 \pi \tau k), \sqrt{k} \sin(2 \pi \tau k))$ . Un círculo de radio $R$ alrededor de $0$ contiene $R^2$ puntos, y tiene un área $\pi R^2$ así que la densidad es correcta.
¿Por qué creo que esto es razonable? Hay una magnífica propiedad de la proporción áurea: si se observa la secuencia $k \tau, (k+1) \tau, (k+2) \tau, ..., \ell \tau$ en $\mathbb R/\mathbb Z$ entonces la mayor distancia entre dos ángulos consecutivos cualesquiera es $\dfrac\tau{\ell-k}$ . Así que los múltiplos de $2 \pi \tau$ están muy bien distribuidos alrededor del círculo de la unidad. Esto lo aprendí del Volumen 2 del Arte de la Programación de Ordenadores; intentaré encontrar una referencia más tarde si nadie lo hace.
Todavía no tengo una estrategia para demostrar que el patrón del girasol no contiene triángulos (o rectángulos) grandes. Pero, siempre que intento colocar uno, la heurística me indica que esta equidistribución de ángulos me destroza.
Mi primera estrategia, con el objetivo de demostrar un "no", fue superponer varios entramados que eran rotaciones unos de otros. Fijemos $A$ de una vez por todas, nuestro objetivo es excluir un rectángulo de tamaño $A$ . Primero me propuse ver cuándo un entramado podía contener un rectángulo de tipo $(L, A, \theta)$ .
Traslada el rectángulo para que uno de los lados cortos toque $(0,0)$ . Entonces el rectángulo contiene una cuña circular de radio $L$ y el ángulo aproximadamente $A/L^2$ sin puntos de rejilla. En otras palabras, no hay $(p,q)$ con $\sqrt{p^2+q^2} \le L$ y $|\theta - \tan^{-1}(p/q)| \le c\cdot A/L^2$ , donde $c$ es una constante que no he calculado.
Ahora hay un montón de molestias, que tienen que ver con la presencia de ese $tan^{-1}$ y el hecho de que la gente que hace la aproximación de Diophatine suele pedir $q$ ser pequeño, no $\sqrt{p^2+q^2}$ . Pasando por alto todos los detalles, el conjunto de $\theta$ para los que existe dicho rectángulo debería parecerse a la unión de todos los intervalos del $L$ -a secuencia de Farey cuya longitud es mayor que $A/L^2$ . La heurística me da que el tamaño de esto es $c/A$ para $c$ una constante (diferente) que no he calculado.
Así que una celosía no puede salvarme. Lo anterior sugiere que, por cada $L$ habrá un conjunto de longitudes positivas de $\theta$ para los que los rectángulos de tipo $(L, A, \theta)$ existe. Por supuesto, ya sabíamos que una red única no podía funcionar.
¿Qué pasa con dos celosías, rotadas por algún phi? Creo que sigo perdiendo. Como $L$ crece, el conjunto de theta's que funcionan se mantiene de tamaño $1/A$ pero cada vez se extiende más. Al final, se espera que contenga dos puntos que se diferencian por phi. Sin embargo, esta parte es muy poco rigurosa. En particular, no estoy seguro de si podríamos guardar las cosas para algún phi muy especial.
Hasta ahí he llegado. Intenté otras ideas, pero no llegué a ninguna parte. Ni siquiera estoy seguro de cuál es la respuesta correcta.
