¿Por qué buscamos preservar medidor de simetrías después de la cuantización?

Question

Medidor de simetrías no dan lugar a leyes de conservación a través del teorema de Noether, y que representan los despidos en nuestra descripción del sistema. Entonces, ¿por qué queremos mantenerlos después de la cuantización? Por ejemplo:

Pero medidor de simetrías no son simetrías. Ellos son los despidos en nuestro descripción del sistema. Como tal, no puede permitirse el lujo de perder, y es imperativo que ellos no sufren de una anomalía en la teoría cuántica.

(De David Tong notas de la conferencia sobre la teoría de cuerdas, Capítulo 5, Página 108).

Si son despidos, entonces ¿por qué queremos formular una teoría con ellos? Dan lugar a todo tipo de inconvenientes, por ejemplo, tener que definir un nuevo funcional integral que sólo integra más físicamente distintas configuraciones.

He visto cómo, asumiendo una simetría, por ejemplo, U(1) la simetría, se puede derivar algunos resultados interesantes, como el Lagrangiano de Maxwell, como lo ha hecho Peskin y Schroeder. Pero, ¿por qué la demanda que exista medidor de simetrías en el primer lugar?

Answer 1

Medidor de simetrías, como la nota dice, son los despidos en nuestra descripción de la naturaleza. Por ejemplo, un fotón tiene dos grados de libertad (las dos polarizaciones). Sin embargo, vamos a describir un fotón mediante una 1-forma de campo $A_\mu$ que tiene 4 grados de libertad. Los dos grados de libertad aquí están relacionados con el medidor de simetrías. A partir de aquí, hay dos preguntas importantes que deben ser contestadas:

¿Por qué debe medir simetrías ser conservados en la teoría cuántica?

Una de las cosas que debe ser preservado en que va desde la clásica a la teoría cuántica a los grados de libertad de la teoría. (La manera en que los grados de libertad se comportan puede cambiar, pero no su número). Tomando el ejemplo de los fotones, el total no físico grados de libertad se mantiene sin cambios en la cuantización (la cuántica y clásica fotón es descrito por el mismo $A_\mu$). Por lo tanto, con el fin de mantener el número adecuado de física grados de libertad (2 para el fotón) invarianza de norma que debe ser preservado a la cuantización.

Si el calibrador simetrías son despidos, ¿por qué introducir en el primer lugar?

El punto importante aquí es el requisito de que nuestra teoría sea invariante de Lorentz. Ahora, hay dos maneras para estar seguros de que nuestra teoría (o, más precisamente, el $S$-matriz) es invariante Lorentz

1. La acción manifiestamente invariante de Lorentz. Esto implica que describe la teoría en términos de covariante Lorentz objetos tales como los escalares $\phi$, 1-formas $A_\mu$ o spinors $\psi$ (y otras representaciones del grupo de Lorentz.)

2. No hacer la acción manifiestamente invariante de Lorentz, es decir, formular en términos de campos que no son representaciones del grupo de Lorentz, pero mantener general de la invariancia de Lorentz con cuidado, poniendo juntos los campos de un invariante de Lorentz.

Usted puede ver de inmediato las ventajas de la primera técnica. La invariancia de Lorentz es manifiesto, y mientras los índices coinciden muy bien, nunca tendrá que preocuparse de conseguir gracioso de Lorentz no invariantes respuestas. Con la segunda técnica, uno tiene que comprobar la invariancia de Lorentz en cada paso del cálculo.

La desventaja del primer método es el siguiente: Cada objeto físico debe estar integrado en las representaciones del grupo de Lorentz. Por lo tanto, si queremos describir un spin-1 fotones, debe estar integrado en el spin-1 representación del grupo de Lorentz, $A_\mu$. Esto nos lleva a una necesaria introducción de la invariancia gauge. (desde el 4 dof de $A_\mu$ tiene que ser reducida a las 2 de la fotones)

Así como un resumen, mientras que la invariancia gauge crea algunos inconvenientes, que permite eludir la aún más incómodo formulación de la teoría en un Lorentz no manifiesto.

PS - En la evolución reciente, las personas han intentado incrustar el dof de los fotones en el spinor, que continúa permitiendo manifiesto de la invariancia de Lorentz, pero también evita el problema de calibre invariances. Este es el llamado spinor-helicidad formalismo.

Answer 2

Para responder a su última pregunta, porque cuantización de electromagnetismo en términos de $\vec{E}$ $\vec{B}$ no hacer la invariancia de Lorentz de manifiesto, y es, además, las fosas. También, es difícil de captar cosas como la Aharonov-Bohm efecto y otros topológicamente cosas interesantes (especialmente en los Abelian campos) si usted puede deshacerse de la geometría (medidor de campo).

Para responder a tu primera pregunta... ¿por qué mantener la simetría gauge después de la cuantización? Así, si se encontraba en el lugar antes de cuantización, y que hizo uso de la simetría en cualquiera de sus cálculos, por ejemplo, para obtener un resultado que prohíbe a una cierta decadencia, a continuación, si usted encuentra que el indicador de simetría no se conserva (una anomalía), los cálculos no son consistentes. Si la simetría no existe después de la cuantización, entonces no estaba realmente allí, para empezar (que acaba de empezar con el infractor en su Lagrangiano de tener coeficientes erróneamente igual a cero).