Derivada de la función W de Lambert.

Question

Estoy tratando de encontrar la derivada de la función W de Lambert que se define como:

$$W(x)e^{W(x)}=x$$

A través de la diferenciación implícita obtengo:

$$W(x)e^{W(x)}W'(x)+W'(x)e^{W(x)}=1$$

$$W'(x)(W(x)e^{W(x)}+e^{W(x)})=1$$

Y utilizando $W(x)e^{W(x)}=x$ Lo entiendo:

$$W'(x)=\frac{1}{x+e^{W(x)}}$$

Sin embargo, la respuesta debería ser:

$$W'(x)=\frac{W(x)}{x(1+W(x))}$$

¿En qué me he equivocado?

Answer 1

En ninguna parte. Pero tenga en cuenta que $$ \exp W(x) = \frac{W(x)\exp W(x)}{W(x)} = \frac{x}{W(x)}$$ Ahora usa esto en tu expresión para obtener la otra expresión.

Answer 2

Has llegado correctamente a

$$W'(x)=\frac{1}{x+e^{W(x)}}$$

Ahora, recordando que $x=W(x)e^{W(x)}$ entonces claramente $e^{W(x)}=x/W(x)$ . Por lo tanto,

$$\begin{align} W'(x)&=\frac{1}{x+e^{W(x)}}\\\\ &=\frac{1}{x+x/W(x)}\\\\ &=\frac{W(x)}{xW(x)+x}\\\\ &=\frac{W(x)}{x(W(x)+1)} \end{align}$$

¡como se esperaba!

Answer 3

Otra forma de encontrar la derivada de la función de Lambert:

1) recordar que W(x) es la inversa de $f(x) = xe^x$ .

2) recordar que si g(x) es la inversa de f(x), entonces $$g'(x)= \frac{1}{f'(g(x))}$$

Para $f(x) = xe^x$ , $f'(x) = xe^x + e^x = e^x(x+1)$

Por lo tanto, si $f(x) = xe^x$ y $g(x) = W(x)$ es su inversa, entonces $$g'(x) = \frac{1}{e^{W(x)}(W(x)+1)}$$

3) recordar que $$e^{W(x)} = \frac{x}{W(x)}$$

Por lo tanto, $$g'(x) = \frac{1}{\frac{x}{W(x)}(W(x)+1)}$$ $$= \frac{W(x)}{x(1+W(x))}$$