En la relatividad especial, las transformaciones de coordenadas entre marcos inerciales se codifican mediante las transformaciones de Lorentz. Las transformaciones de coordenadas son cambios en el etiquetado de los eventos, sin embargo las transformaciones de Lorentz codifican la información sobre los efectos físicos, como la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo. ¿Cómo puede el reetiquetado de los acontecimientos dar lugar a la aparición de nuevos fenómenos físicos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si hay una línea en el plano euclidiano que es paralela a la $x$ con marcas de graduación separadas por una unidad, y luego en un sistema de coordenadas primado y girado por $θ$ en relación con las coordenadas no imprimadas, el $x'$ Las coordenadas de las marcas son $\cos θ$ unidades de distancia. Si se expresa la rotación como una pendiente, $m = \tan θ$ en lugar de un ángulo, entonces las marcas son $1/\sqrt{1+m^2}$ unidades separadas.
Si hay una línea en el plano de Minkowsk que es paralela a la $t$ con marcas de graduación separadas por una unidad, y luego en un sistema de coordenadas primado y girado por un rapidez $α$ El $t'$ Las coordenadas de las marcas son $\cosh α$ unidades de distancia. Si se expresa la rotación como una pendiente, $v = \tanh α$ en lugar de un ángulo, entonces las marcas son $1/\sqrt{1-v^2}$ unidades separadas.
Estos dos ejemplos son casi idénticos; las pequeñas diferencias surgen del signo invertido en la versión minkowskiana del teorema de Pitágoras. El caso minkowskiano se llama dilatación del tiempo.
La contracción de la longitud es similar: si se tiene una franja paralela a la $x$ eje cuya anchura a lo largo del $y$ es de 1 unidad, entonces su anchura a lo largo del $y'$ eje es $\sec θ = \sqrt{1+m^2}$ y si tiene una franja paralela a la $t$ eje cuya anchura a lo largo del $x$ es de 1 unidad, entonces su anchura a lo largo del $x'$ eje es $\mathrm{sech}\,α = \sqrt{1-v^2}$ .
La versión euclidiana de la paradoja de los gemelos es la desigualdad del triángulo. La versión euclidiana de la La paradoja de Ehrenfest es que si quieres cubrir un cilindro infinito con tiras de papel pintado de longitud infinita y anchura finita, necesitas menos si están en ángulo que si están rectas. (En el caso más extremo, puedes cubrir el cilindro con una sola tira si la envuelves en una espiral apretada).
¿Son fenómenos físicos? Supongo que es una cuestión de opinión. Los minkowskianos son exactamente tan físicos como los euclidianos.
