demostrar la continuidad de la función

Question

Dejemos que $C_{n}$ sea el subespacio de $R^{2}$ definido por $C_{n}=\left\{(x,y)|\left(x-\dfrac{1}{n}\right)^{2}+y^{2}=\left(\dfrac{1}{n}\right)^{2}\right\}$ Sea Y el subespacio $$Y=\cup_\left\{n\in z^{+}\right\}C_{n}$$ de $R^{2}$ dejemos $X$ sea el subespacio $C_{1}\times Z_{+}$ de $R^{2}\times R$ . Definir $g:X\rightarrow Y$ por $g(((x,y),n))=(\dfrac{x}{n},\dfrac{y}{n})$ demostrar que g es continua y suryente pero no cociente.

Irónicamente, puedo demostrar que este mapa es sobreyectivo y no cociente, pero no he podido encontrar una forma adecuada de explicar que es continuo. Se lo agradezco de antemano.

Answer 1

Dejar $\mathbf x = (x,y)$

Necesitas una métrica de distancia. $d(\mathbf x_1,\mathbf x_2) = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2$ es el cuadrado de la métrica euclidiana, y será suficiente.

Definición de continuidad:

$\forall \epsilon >0, \forall \mathbf x,\mathbf x_2 \in X, \exists \delta : d(\mathbf x_1,\mathbf x_2)<\delta \implies d(g(\mathbf x_1),g(\mathbf x_2))<\epsilon$

$d(g(\mathbf x_1),g(\mathbf x_2)) = \frac 1{n^2}d(\mathbf x_1,\mathbf x_2)$

$\delta = n^2\epsilon$