En realidad, esto se reduce a una cuestión de interpretación de las unidades, y es una cuestión un poco complicada.
Por un lado, se puede considerar que cualquier ecuación de la física no es más que una relación matemática entre algunos números. Este era el punto de vista adoptado en los primeros días de la física cuantitativa, * en los siglos XVII y XVIII, cuando los conceptos de fuerza e impulso se estaban cuantificando. Como había muy poca colaboración, la idea de un sistema de unidades estandarizado no había despegado realmente, así que si hacías un experimento para establecer la relación entre fuerza, momento y tiempo, las unidades que utilizabas venían determinadas por tu equipo. En otras palabras, lo único que sabrías es que tienes un medidor de fuerza (escala) que te dará un número proporcional a la fuerza, un "medidor de momento" que te dará un número proporcional al cambio de momento, y un reloj de algún tipo (quizás un péndulo) que te dará un número proporcional al tiempo.
Digamos que se ha establecido que la relación es lineal. Probablemente harías un experimento en el que aplicaras una cierta cantidad de fuerza para un número determinado de tics del reloj, y cambiaras el momento de tu dispositivo de medición. Entonces, usted enchufaría esos números - es importante notar que sólo se trata de números, ya que realmente no hay unidades significativas de las que hablar - en la aproximación discreta de la segunda ley de Newton: $$F^{(N)} = K_F^{(N)}\frac{\Delta p^{(N)}}{\Delta t^{(N)}}\tag{1}$$ Aquí he utilizado el superíndice $^{(N)}$ para indicar valor numérico puro es decir, el número que se lee en la balanza/reloj/metro. La introducción de estos números le permitirá determinar el valor de la constante $K_F^{(N)}$ .
Es obvio que el valor de esta constante dependerá de cómo esté calibrado su equipo, es decir, del sistema de unidades que esté utilizando. Por ejemplo, suponga que su equipo está calibrado de manera que:
- Su medidor de fuerza mide en lo que ahora llamamos libra s. En otras palabras, una lectura de $3$ en el medidor de fuerza corresponde a la fuerza que ahora llamaríamos $3\ \mathrm{lb_F}$ y de manera similar para otros números - pero por supuesto, cuando se toma esa lectura, sólo se piensa en ella como " $3$ ".
- Su medidor de impulso mide en lo que actualmente llamaríamos libras-pie por segundo, $\mathrm{lb_M}\;\mathrm{ft}\;\mathrm{s}^{-1}$ .
- Su contador de tiempo mide en unidades equivalentes a los segundos modernos.
Entonces se encontraría con que $$K_F^{(N)} = 32.174$$ En aquella época, antes de que la gente empezara a pensar realmente en las unidades, todas las ecuaciones multiplicativas de la física se consideraban simples relaciones entre números. En consecuencia, incluían constantes de proporcionalidad que se adaptaban al equipo de cada laboratorio.
Con el tiempo, cuando más gente empezó a hacer física, surgió la necesidad de un sistema de unidades estandarizado para poder comparar los datos de diferentes laboratorios. Las unidades se pensaron primero como valores de referencia, y tus propias mediciones representarían cuántas veces el valor de referencia que estabas midiendo. Si se tiene la suerte de tener un equipo calibrado para que coincida con el valor de referencia, se puede leer el número directamente en él, pero si no es así, hay que convertir las mediciones utilizando una ecuación como $$F^{(\text{standard})} = \biggl(\frac{\text{your unit}}{\text{standard reference value}}\biggr)F^{(N)}$$ y así sucesivamente para otras cantidades.Encontrarías alguna forma de determinar el factor de conversión $\frac{\text{your unit}}{\text{standard reference value}}$ para cada uno de tus dispositivos de medición, y entonces tendrías que hacer esta conversión cada vez que hicieras una medición.
O bien, puedes ser inteligente y poner los valores de referencia directamente en la ecuación. Este es el gran avance en los sistemas de unidades, porque tus medidas ya no son sólo números. Mientras que antes se trabajaba con, digamos, $F^{(N)}$ o $F^{(\text{standard})}$ Ahora puedes trabajar con la cantidad $F$ , donde $$F = F^{(\text{standard})}(\text{standard reference value}) = F^{(N)}(\text{your unit})$$ Así que, suponiendo de nuevo que sus unidades de fuerza, impulso y tiempo se corresponden con las modernas $\mathrm{lb_F}$ , $\mathrm{lb_M}\;\mathrm{ft}\;\mathrm{s}^{-1}$ et $s$ respectivamente, se puede escribir la ecuación anterior (1) como $$\frac{F}{\mathrm{lb_F}} = \frac{K_F}{\mathrm{lb_F}/(\mathrm{lb_M}\;\mathrm{ft}\;\mathrm{s}^{-2})}\frac{\bigl(\frac{\Delta p}{\mathrm{lb_M}\;\mathrm{ft}\;\mathrm{s}^{-1}}\bigr)}{\bigl(\frac{\Delta t}{\mathrm{s}}\bigr)}$$ Entonces se puede reordenar algebraicamente esto a $$F = K_F\frac{\Delta p}{\Delta t} \quad\text{where}\quad K_F = K_F^{(N)}\frac{\mathrm{lb_F}}{\mathrm{lb_M}\;\mathrm{ft}\;\mathrm{s}^{-2}}$$
Así, la segunda ley de Newton ha pasado de ser una simple relación entre números a ser una relación entre cantidades físicas que se expresan como múltiplos de un valor de referencia. Sin embargo, sigue habiendo una constante de conversión en la ecuación. Simbólicamente, es independiente de las unidades, pero todavía hay que introducir un número diferente dependiendo de la combinación de unidades con la que se quiera trabajar. Este es el sentido en el que $F$ sólo es proporcional a $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$ .
En la comunidad científica moderna, por otra parte, creo que la mayoría de la gente estaría de acuerdo en que las unidades son una invención humana, y que las cantidades físicas deberían existir en algún sentido independientemente de las unidades que decidamos utilizar para ellas. Desde ese punto de vista, debería haber alguna forma "natural" de expresar las ecuaciones de la física que no incorpore ningún "artefacto del sistema de unidades" como estas constantes de proporcionalidad.
La forma de hacerlo es definir las unidades como objetos abstractos y desarrollar un conjunto de reglas para manipularlas (algo así como vectores de unidades). A continuación, podemos incorporar las constantes de conversión a esas reglas. Por ejemplo, consideremos de nuevo la aproximación discreta de la segunda ley de Newton, pero esta vez sin la constante de conversión escrita en ella:
$$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$$
Puede seguir utilizando los segundos para el tiempo y $\mathrm{lb_M}\;\mathrm{ft}\;\mathrm{s}^{-1}$ para el impulso en esta ecuación. Cuando leas los números de tu equipo de medición y los introduzcas en la fórmula, lo harás así:
$$F = \frac{\Delta p^{(N)}\ \mathrm{lb_M}\;\mathrm{ft}\;\mathrm{s}^{-1}}{\Delta t^{(N)}\ \mathrm{s}} = \frac{\Delta p^{(N)}}{\Delta t^{(N)}}\mathrm{lb_M}\;\mathrm{ft}\;\mathrm{s}^{-2}$$
Suponga que quiere su respuesta en libras de fuerza. Buscarías la regla de multiplicación para $\mathrm{lb_M}\;\mathrm{ft}\;\mathrm{s}^{-2} \to \mathrm{lb_F}$ que en este caso se puede encontrar en Wikipedia :
$$\mathrm{lb_F} = 32.174\ \mathrm{lb_M}\;\mathrm{ft}\;\mathrm{s}^{-2}$$
(en general, es posible que tenga que encadenar algunas reglas para obtener la conversión correcta). Así que acabas con
$$F = \frac{1}{32.174}\frac{\Delta p^{(N)}}{\Delta t^{(N)}}\mathrm{lb_F}$$
Resulta lo mismo que antes, pero esta vez la constante de conversión $K_F$ es parte del sistema de unidades, no de la ecuación. Esto significa que si no se introducen valores reales en la ecuación, no hay que pensar en las unidades ni en las constantes de proporcionalidad. Y si lo miras de esta manera, $F$ es en realidad igual a $\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}$ .
¿Cuál es el veredicto? Desgraciadamente, no hay una respuesta irrefutable a la pregunta de si la segunda ley de Newton es una proporcionalidad o una igualdad. Dependiendo de cómo se piense en ello, cualquiera de las dos respuestas podría ser válida. Pero yo diría que la respuesta "igualdad", que corresponde a la visión moderna de las unidades, es conceptualmente más limpia. Es aceptada por todos los físicos modernos competentes, hasta donde yo sé (al menos para la mecánica; el electromagnetismo es una historia totalmente diferente), y es ciertamente la interpretación que intentamos (aunque sin éxito) inculcar en las mentes de los estudiantes de introducción a la física. Definitivamente, estoy de acuerdo en que el examinador estaba siendo excesivamente exigente (aunque, para ser justos, le dio crédito).
*No tengo una fuente explícita, así que no estoy del todo seguro de que esto sea así realmente desarrollado; estoy basando mi descripción en algunos recuerdos borrosos. Dicho esto, la historia de fondo ayuda a aclarar las diversas formas de tratar a las unidades, así que considérenlo ficción histórica si es necesario.
