El teorema de Hahn-Banach se considera, con razón, uno de los grandes teoremas del análisis funcional. De hecho, puede decirse que es el punto de partida del análisis funcional. Pero como es uno de esos teoremas de "existe..." que no da ninguna información sobre cómo encontrarlo; de hecho, es bastante habitual que al enseñarlo se introduzca primero el caso separable (que es razonablemente constructivo) antes de pasar al teorema completo. Así que su uso real es en situaciones en las que basta con saber que el funcional existe: si se puede escribir un funcional que haga el trabajo, entonces no es necesario el Teorema de Hahn-Banach.
Así que mi pregunta es: ¿cuál es un buen ejemplo de un espacio donde se necesita el teorema de Hahn-Banach?
Idealmente, el espacio en sí no debería ser demasiado difícil de expresar, y los espacios vectoriales normalizados son preferibles a los no normalizados (un buen espacio vectorial no normalizado seguiría siendo bueno de conocer, pero sería de menor utilidad pedagógica).
Editar: Me parece un error aceptar una de estas respuestas como "la" respuesta, así que no voy a hacerlo. Si me obligan, diría que $\ell^\infty$ es el mejor ejemplo: es probablemente el espacio no separable más fácil de pensar y, como he aprendido, hace necesito el teorema de Hahn-Banach.
Por cierto, una cosa que no se dijo, y que se me olvidó al hacer la pregunta, es que ese ejemplo va a ser necesariamente no separable ya que contable Hahn-Banach es demostrable simplemente con la inducción.
