¿Cuál es un ejemplo de un espacio que necesita el Teorema de Hahn-Banach?

Question

El teorema de Hahn-Banach se considera, con razón, uno de los grandes teoremas del análisis funcional. De hecho, puede decirse que es el punto de partida del análisis funcional. Pero como es uno de esos teoremas de "existe..." que no da ninguna información sobre cómo encontrarlo; de hecho, es bastante habitual que al enseñarlo se introduzca primero el caso separable (que es razonablemente constructivo) antes de pasar al teorema completo. Así que su uso real es en situaciones en las que basta con saber que el funcional existe: si se puede escribir un funcional que haga el trabajo, entonces no es necesario el Teorema de Hahn-Banach.

Así que mi pregunta es: ¿cuál es un buen ejemplo de un espacio donde se necesita el teorema de Hahn-Banach?

Idealmente, el espacio en sí no debería ser demasiado difícil de expresar, y los espacios vectoriales normalizados son preferibles a los no normalizados (un buen espacio vectorial no normalizado seguiría siendo bueno de conocer, pero sería de menor utilidad pedagógica).

Editar: Me parece un error aceptar una de estas respuestas como "la" respuesta, así que no voy a hacerlo. Si me obligan, diría que $\ell^\infty$ es el mejor ejemplo: es probablemente el espacio no separable más fácil de pensar y, como he aprendido, hace necesito el teorema de Hahn-Banach.

Por cierto, una cosa que no se dijo, y que se me olvidó al hacer la pregunta, es que ese ejemplo va a ser necesariamente no separable ya que contable Hahn-Banach es demostrable simplemente con la inducción.

Answer 1

Me gustaría resumir la respuesta que se ha desarrollado a partir del libro de Eric Shechter, vía Mark Meckes, más el comentario de Gerald Edgar. Dado que no es realmente mi respuesta, estoy haciendo esto una respuesta de la comunidad.

1. El teorema de Hahn-Banach es en realidad el axioma de Hahn-Banach. Al igual que el axioma de elección, Hahn-Banach no puede demostrarse a partir de ZF. Lo que Hahn y Banach demostraron es que AC implica HB. Lo contrario no es cierto: Los lógicos han construido conjuntos de axiomas que contradicen HB, y han construido axiomas razonables estrictamente entre AC y HB. Así que una versión de la pregunta de Andrew es, ¿existe un espacio de Banach natural que requiera el axioma HB? Para la pregunta, tomemos HB para decir que todo espacio de Banach $X$ se incrusta en su segundo doble $X^{**}$ .

2. Como explica Shechter, Shelah demostró la consistencia relativa de ZF + DC + BP (elección dependiente más propiedad de Baire). Como también explica, estos axiomas implican que $(\ell^\infty)^* = \ell^1$ . Esto es contrario al teorema de Hahn-Banach, como se explica en el siguiente punto. Una forma llamativa de expresar la conclusión es que $\ell^1$ y su doble $\ell^\infty$ se convierten en espacios de Banach reflexivos.

3. $c_0$ es el subespacio cerrado de $\ell^\infty$ que consiste en secuencias que convergen a 0. El cociente $\ell^\infty/c_0$ es un espacio de Banach eminentemente natural en el que la norma de una secuencia es $\max(\lim \sup,-\lim \inf)$ . (Otro ejemplo es $c$ el subespacio de las secuencias convergentes. En $\ell^\infty/c$ la norma es la mitad de $\lim \sup - \lim \inf$ .) El producto interior entre $\ell^1$ y $c_0$ es no degenerado, por lo que en el sistema de axiomas de Shelah, $(\ell^\infty/c_0)^* = 0$ . Sin el axioma de Hahn-Banach, el espacio de Banach $\ell^\infty/c_0$ no necesita tener ninguna función acotada distinta de cero.

Answer 2

Hay otro dato lógico aquí.

Hahn-Banach (HB) es estrictamente más débil que el Axioma de Elección (AC), lo que significa -bajo el supuesto de consistencia como es habitual- que en ZF, AC implica a HB pero no a la inversa. Otro teorema intermedio del análisis funcional es el teorema de Krein-Milman: "Un conjunto compacto convexo no vacío en un espacio localmente convexo tiene un punto extremo" Llámese KM. En ZF, AC implica KM pero no al revés. Y lo interesante es que, tomados ambos juntos, sí obtenemos AC. Así que en ZF, HB+KM implica y es implicado por AC.

Answer 3

No estoy seguro de qué es lo que tienes en mente cuando dices que "necesitas el teorema de Hahn-Banach". Un ejemplo estándar de algo bastante concreto para lo que se necesita Hahn-Banach en alguna forma es demostrar que hay funcionales lineales en $\ell^\infty$ que no están representados por elementos de $\ell^1$ . Es un ejercicio estándar para demostrar que $\ell^1$ actúa como el dual de las secuencias que convergen a 0; puesto que es un subespacio cerrado propio de $\ell^\infty$ Hahn-Banach produce otras funciones lineales en $\ell^\infty$ .

Esto está estrechamente relacionado con el tema de Límites de Banach .

Answer 4

El teorema de Gelfand-Naimark dice que cualquier $C^\ast$ -es isomorfa a una norma cerrada $\ast$ -subálgebra de $B(H)$ para un espacio de Hilbert adecuado $H$ . Para demostrar este teorema, es imprescindible que nuestro $C^\ast$ -álgebra tienen estados, que utiliza el teorema de Hahn-Banach.

También se puede utilizar el teorema de Hahn-Banach en lugar del teorema de Tychonoff para construir $\beta X$ El Compactación de la piedra-Cech de $X$ . Esto está muy relacionado con la respuesta de @Mark Meckes.

Answer 5

Si $G$ es un grupo, Bavard demostró que la longitud del conmutador estable desaparece en $[G,G]$ si y sólo si $G$ no admite "cuasimorfismos homogéneos" no triviales. Estas funciones (en el espacio del grupo $1$ -) se construyen utilizando el teorema de Hahn-Banach, pero suelen ser muy difíciles (o imposibles) de escribir explícitamente.

Otro ejemplo: dejemos que $M$ sea una variedad triangulada, y supongamos que orientamos cada arista de cada simplex de tal manera que las orientaciones provienen de un "orden total" en cada triángulo. Nos gustaría asignar "longitudes" positivas a cada arista de forma que en cada triángulo, la suma de los valores de las "aristas cortas" sea igual al valor de la "arista larga" (donde "corta" y "larga" se definen según las orientaciones). El teorema de Hahn-Banach (¡de dimensiones finitas!) nos dice que podemos hacer esto si y sólo si cada bucle orientado en el esqueleto 1 es homológicamente esencial; es decir, la "positividad homológica" puede mejorarse a "positividad en cadena". Por supuesto, el teorema de Hahn-Banach de dimensión finita es sólo una muleta psicológica, pero las versiones de esta construcción en otras categorías necesitan el teorema de Hahn-Banach "real" (aplicado a ciertos espacios de corrientes de Rham).