Si el límite de un conjunto convexo en $\mathbb R^n$ ( $n>1$ ) está conectada, ¿lo está también necesariamente?

Question

Si el límite de un conjunto convexo en $\mathbb R^n$ ( donde $n>1$ ) está conectada, ¿lo está también necesariamente?

Answer 1

Supongamos que $X\subseteq \mathbb R^n$ es un conjunto convexo no vacío. Si $X$ no tiene puntos interiores, entonces $\partial X=\overline X$ es convexa y, por tanto, está conectada por un camino. Por lo tanto, supongamos wlog. que $0\in X^\circ$ . Para $a\in\partial X$ dejar $P(a)$ sea el conjunto de puntos $p\in \partial X$ que se puede alcanzar desde $p$ por un camino en $\partial X$ .

Reclamación. $P(a)$ es un subconjunto cerrado de $\partial X$ .

Prueba. Para $r>0$ dejar $X_r=X\cap B(0,r)$ . Entonces $X_r$ es un conjunto convexo acotado no vacío, por lo que existe un homeomorfismo $f\colon \partial X_r\to S^{n-1}$ . Para $r>|a|$ la imagen del conjunto abierto $B(a,r-|a|)\cap \partial X_r=B(a,r-|a|)\cap \partial X$ en $f$ el contiene un abierto $\let\epsilon\varepsilon \epsilon$ -bola alrededor $f(a)$ es decir, $B(f(a),\epsilon)\cap S^{n-1}$ . Como se trata de un camino conectado, concluimos que $P(a)$ contiene un $\partial X$ -barrio abierto de $a$ . Ya que para $a,b\in\partial X$ tenemos $P(a)=P(b)$ o $P(a)\cap P(b)=\emptyset$ concluimos que $P(a)$ está abierto y cerrado. $_\square$

Corolario. Si $\partial X$ está conectada, entonces también lo está.