Un polinomio que desaparece en un punto pero no en otros finitos.

Question

El problema: Demuestre que dado un conjunto finito de puntos distintos $p_0,p_1,\ldots,p_k\in\Bbb C^n$ existe un polinomio $f(x_1,\ldots,x_n)\in\Bbb C[x_1,\ldots,x_n]$ tal que $f(p_0)=0$ pero $f(p_i)\neq 0$ para todos $i=1,\ldots,k$ .

La idea es intuitiva: El conjunto $X=\{x\in\Bbb C^n:f(x)=0\}$ es un subconjunto de $\Bbb C^n$ de una dimensión inferior a $\Bbb C^n$ y, por lo tanto, debemos ser capaces de arreglarlo para que pase por $p_0$ pero no se encuentra cualquier número finito de otros puntos $p_1,\ldots,p_k$ .

Pero cómo probar esto rigurosamente ?

Answer 1

Definitivamente tenemos $\bigcup_{j=1}^n(p_j-p_0)^\perp\neq\mathbb C^n$ . Elija un vector $h\in\mathbb C^n$ que no está en esta unión y el conjunto $f(x) = \langle x-p_0,h\rangle$ . Este es un polinomio con la propiedad deseada.

Answer 2

Si $p_0=(a_1,...a_n)$ . Sea $k$ sea el campo obtenido al adosar $p_{i_j}-a_j$ a $\mathbb{Q}$ (aquí $p_i=(p_{i_1},...p_{i_n})$ para $i\geq 1$ ). Ahora elija algunos $x\in \mathbb{C}$ que es trascendental sobre $k$ ( $\mathbb{C}$ no es algebraico sobre $k$ porque $k$ es contable). Entonces $f=(x_1-a_1)+(x_2-a_2)x+\cdots+(x_n-a_n)x^{n-1}$ debería hacer el trabajo.

Answer 3

Que el $j$ coordenada de $p_i$ sea $p_{i,j}.$ Para $1\leq j\leq n,$ tomar un polinomio $f_j:C\to C$ tal que $f_j(p_{0,j})=1$ y $f_j(p_{i,j})= 0$ siempre que $i\ne 0$ y $p_{i,j}\ne p_{0,j}.$

Dejemos que $f(x_1,..,x_k)=\sum_{j=1}^n(1-f_j(x_j)).$ Entonces $f(p_0)=0.$

Y cuando $i\ne 0,$ tenemos $f(p_i)=\sum_{j\in i^*}1$ donde $i^*=\{j:p_{0,j}\ne p_{i,j}\}\ne \phi,$ así que $f(p_i)\geq 1.$

Para obtener $f_j$ : Para cada $j$ dejar $\{p_{i,j}: 0\leq i\leq k\}=\{p_{0,j}\} \cup S_j$ donde $p_{0,j}\ne S_j.$ Si $S_j=\phi$ dejar $f_j(x)= 1$ para todos $x.$ Si $S_j\ne \phi,$ dejar $f_j(x)=[\;\prod_{t\in S_j}(x-t) \;]/ \prod_{t\in S_J}(p_{0,j}-t).$